Правила преобразования формул логики предикатов

Пусть формулы f и g имеют одно и то же множество свободных переменных (в частности, пустое).

Определение 9.8. Формулы f и g равносильны в данной интерпретации I =  М , Ф  , если на любом наборе значений свободных переменных они принимают одинаковые значения, т. е. если формулы выражают в данной интерпретации один и тот же предикат.

Формулы f и g равносильны на множестве М , если они равносильны во всех интерпретациях, заданных на множестве М . Формулы f и g равносильны в алгебре (логике) предикатов, если они равносильны во всех интерпретациях. Тогда будем писать: f ≡ g .

Пример 9 .6 . Рассмотрим формулы:

Эти формулы равносильны на одноэлементном множестве. В самом деле, если область интерпретации — одноэлементное множество, то какой бы предикат ни взяли в качестве интерпретации  на этом множестве, он принимает только значения И или Л.

В первом случае обе формулы принимают значение И, во втором — Л, и, следовательно, они равносильны на этом множестве.

С другой стороны, на двухэлементном множестве {а , b } эти формулы не равносильны.

Теперь рассмотрим правила перехода от одних формул к другим, им равносильным во всех интерпретациях.

Теорема 9.1 (правила булевой алгебры ). Для формул алгебры предикатов сохраняются все равносильности и правила равносильных преобразований алгебры высказываний.

Доказательство . Проведем показательное рассуждение для одной равносильности.

Здесь формулы а , b , с являются предикатами. Рассмотрим произвольную интерпретацию I =  М , Ф  и зададим свободные переменные в формулах а , b , с конкретными значениями. Тогда эти формулы станут высказываниями со своими истинностными значениями, для которых закон дистрибутивности выполняется. Следовательно, в силу произвольности интерпретации, дистрибутивность будет выполняться в логике предикатов. Аналогично доказываются все равносильности из логики высказываний,

Теорема 9.2 (правило переноса квантора через отрицание ). Пусть а — формула, содержащая свободную переменную х . Тогда:

Теорема 9.3 (правило выноса квантора за скобки ). Пусть а (х ) содержит свободную переменную х , формула b не содержит переменной х и обе они удовлетворяют п. 3 определения 9.5, т.е. нет таких переменных, которые были бы связаны в одной формуле и свободны в другой. Тогда:

Если в предыдущих правилах допустить, чтобы формула b содержала переменную х , то будут выполняться только две равносильности:

Теорема 9.4 (правило перестановки одноименных кванторов ).

Теорема 9.5 (правило переименования связанных переменных ). Заменяя связанную квантором переменную формулы а всюду в области действия квантора другой переменной, не входящей в эту формулу, получаем формулу, равносильную а.

Определение 9.9. Длиной формулы называется общее число входящих в нее символов предикатов (атомарных формул), логических символов и символов кванторов.

Пример 9 .7 . Рассмотрим формулу

Эта формула имеет длину 5. Длину здесь составляют символы:

Определение 9.10. Формулы, в которых из логических символов имеются только символы &, ∨ , ⌉ (стандартный базис), причем символ ⌉ встречается только перед атомарными подформулами (тесное отрицание), называются приведенными .

Пример 9 .8 . Рассмотрим формулы:

Первая является приведенной, вторая — нет. (Почему?) В заключение укажем, до какой степени формулы можно упростить с помощью равносильностей.

Определение 9.11. Приведенная формула называется нормальной , если она содержит все символы кванторов впереди или кванторов вовсе нет.

Пример 9 .9 . Формула  является нормальной.

Относительно нормальных формул справедлива следующая теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема 9.6. Для любой формулы существует равносильная ей приведенная формула, для которой, в свою очередь, существует равносильная ей нормальная формула.

Пример 9 .10 . Рассмотрим некоторую теорему из математического анализа.

Теорема Лагранжа о конечном приращении. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [а , b ] и дифференцируема в интервале (а , b ), то существует точка с , с ∈ (а , b ), такая, что выполняется равенство f ( b ) – f ( a ) = f   '( c )( b – а ).

Обратим внимание на то, что классическая математическая символика используется в основном для термов (предметов), а все свойства термов и утверждения о них написаны на естественном языке (см. формулировку теоремы). Математическая логика позволяет формализовать весь текст теоремы и записать ее в виде формулы . Вот почему математическую логику часто называют метаматематикой . Мир формул логики предикатов относят к неклассической математике .

Перейдем к формализации теоремы Лагранжа в рамках логики предикатов.

Шаг 1 . Перечислим все предметы, о которых идет речь в теореме, и обозначим их предметными переменными . Всего в теореме четыре предмета — три числа а , b , с и одна функция f , или в стандартном обозначении f ( x ).

Шаг 2 . Выделим в теореме простейшие части текста (смыслы) о предметах и формализуем их в виде атомарных формул . Получим:

P ( a , b , f ( x )) = «функция f ( x ) непрерывная на отрезке [а , b ]»;

Q ( a , b , f ( x )) = «функция f ( x ) дифференцируемая в интервале (а , b )»;

R (a , b , с ) = « с ∈ ( а , b )»;

S (a , b , с , f (x )) = «f (b ) – f (a )) = f   '(c ) (b – а )».

Шаг 3. Соединим атомарные формулы в одну сложную формулу при помощи логических связок, следуя тексту теоремы. Получим следующую формулу рассматриваемой теоремы.

Теорема Лагранжа о конечном приращении.

В формуле часть текста «такая что выполняется» соответствует логической связке конъюнкции ⋀ , потому что по смыслу молено было бы сказать «ив ней выполняется». Отметим, что посылка импликации в формуле должна быть взята в скобки и поле действия квантора существования включает две (почему?) атомарные формулы, соединенные связкой ⋀ .

Последняя формула полностью заменяет (моделирует) текст теоремы на естественном языке. Теперь эту формулу можно преобразовать, например, в приведенную форму.

Теорема Лагранжа о конечном приращении.

или преобразовать в нормальную форму.

Теорема Лагранжа о конечном приращении.

Цит. по: Дискретная математика: учебник для студ. вузов / Т.С. Соболева, А.В. Чечкин; под ред. А.В. Чечкина. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. — С. 125 – 135. — (Университетский учебник. Сер. Прикладная математика и информатика).