Формулы логики предикатов

Теперь определим понятие формулы логики предикатов.

Определение 9.4. Алфавит логики предикатов содержит следующие символы.

1.   Символы предметных переменных:

x ₁ , x ₂ ,…

2.   Символы предикатов:

где t = 0, 1,…

3.   Логические символы:

⌉, &, ∨ , ⇒ , ~.

4.   Символы кванторов:

∃ , ∀ .

5.   Скобка и запятая:

), (.

Отличие алфавита логики высказываний от алфавита логики предикатов в наличии п. 1 и 4; кроме того, п. 2 здесь шире (в алфавите логики высказываний t = 0); в п. 5 появилась «запятая».

Чтобы избежать нагромождения индексов, часто символы переменных будем обозначать через x ,  y ,  z , а символы предикатов через Р , Q , R , S и т. д.

Определение 9.5. Слово в алфавите логики предикатов называется формулой или правильно построенным словом, если оно удовлетворяет следующему рекурсивному определению.

1.   Если   — символ предиката; — символы предметных переменных, необязательно различные, то  — формула. Такая формула называется атомарной . Все предметные переменные атомарных формул свободные, связанных переменных нет.

2. Пусть а — формула. Тогда ⌉ а — тоже формула. Свободные и связанные переменные формулы ⌉ а — соответственно свободные и связанные переменные формулы а .

3. Пусть а и b — формулы, причем нет таких переменных, которые были бы связанными в одной формуле и свободными в другой. Тогда

(а   ∨  b ),   ( a & b ),   (а ⇒ b ),   (а ~ b )

есть формулы, в которых свободные переменные формул а и b остаются свободными, связанные остаются связанными.

4.   Пусть а — формула, содержащая свободную переменную х . Тогда ( ∀ x )а , ( ∃ х )а — тоже формулы. Переменная x в них — связанная. Остальные переменные, которые в формуле а свободны, остаются свободными и в этих формулах.

Переменные, которые в формуле а связаны, остаются связанными.

В формуле ( ∀ x )а формула а называется областью действия квантора ∀ , а в формуле ( ∃ х )а — областью действия квантора ∃ .

5. Других правил нет.

Замечание 9.2. По определению формулы никакая переменная не может быть одновременно свободной и связанной. Для оценки формулы на истинность и ложность требуется зафиксировать значения всех свободных предметных переменных, взяв их значения из множества допустимых значений.

Пример 9 .3 . Рассмотрим предикат «Каждый водитель должен соблюдать правила».

Назовем параметры: «водитель», «правила». Первый параметр — связанная переменная, второй — свободная.

Зафиксируем вторую переменную: «правила дорожного движения». Если такой закон в РФ есть, то получаем «И», если нет, то «Л».

То, что сейчас проделано, называется заданием, или рассмотрением некоторой интерпретации предиката.

Определение 9.6. Интерпретацией называется пара I =  М , Ф  , состоящая из непустого множества М и соответствия Ф. При этом множество М задает область значений предметных переменных, а соответствие Ф сопоставляет каждой атомарной формуле A_j ( x ₁ , ...,  x_t ) конкретный t -местный предикат, заданный на М .

При заданной интерпретации считают, что предметные переменные пробегают множество М, а символы ⌉, &, ∨ , ⇒ , ~.и символы кванторов имеют обычный смысл.

Для данной интерпретации каждая формула без свободных переменных представляет собой высказывание, которое истинно или ложно. Всякая формула со свободными переменными выражает некоторый предикат на множестве М , который истинен при одних значениях переменных из этого множества и ложен при других.

Пример 9. 4. Пусть f ( x ) — произвольная фиксированная функция, заданная на отрезке [а , b ].

1. Рассмотрим интерпретацию I =  М , Ф₁  , где М — множество действительных чисел; Ф₁ — соответствие, сопоставляющее формулам Р (х ,   δ), Q ( x ,   ε), R (ε) их конкретные предикаты (характеристические функции):

Здесь х ₀ — фиксированный элемент отрезка [а , b ]; с — некоторое фиксированное действительное число. Тогда определение того, что  записывается формулой

2. Рассмотрим интерпретацию I =  М , Ф₂  , где М — множество действительных чисел; Ф₂ — соответствие, сопоставляющее формулам Р (х , δ), S ( x , ε), R (ε) предикаты:

Здесь х ₀ — произвольный фиксированный элемент отрезка [а , b ]. Тогда определение о том, что функция f ( x ) непрерывна в точке х ₀ , записывается формулой

Здесь рассмотрен простой вариант определения формул логики предикатов. Для описания более серьезных языковых конструкций требуется расширение понятия формулы и использование еще понятия терма . Мир термов описывает предметную область интерпретации средствами классической математики. Для определения термов требуется расширить алфавит формальной теории. Кроме символов предметных переменных x_i требуется ввести еще символы констант a_j и функциональные символы   алгебраических операций над предметными переменными и над константами. Здесь число m = 0,   1,   2, ... называется арностью или числом мест операции. Терм определяется рекурсивно.

Определение 9.7. Всякая предметная переменная, или константа, является термом .