Программируемые логические матрицы

Рассмотрим схему, состоящую из р входов z ₁ , ..., z_p и q выходов g ₁ , …, g _q   (рис. 6.28), в которой значения выходов определяются матрицей соединений (c_ih ), 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ y ≤ q , c_ih ∈ {0, 1} по следующим правилам  Таким образом,  где ,  а остальные c_ih = 0. Полученная схема называется решеткой с р входами и q выходами элементов &, которая определяется матрицей соединений (c_ih ).

Рис. 6.28

Программируемой логической матрицей (ПЛМ) называется изображенная на рис.  6.29 схема, получающаяся соединением решетки А с 2n входами и k выходами, определяемой матрицей соединений (a_ih ), и решетки В с k входами и т выходами, определяемой матрицей соединений (b_hj ).

Рис. 6.29

Опишем преобразования, которые происходят при прохождении через ПЛМ значений переменных x ₁ , x ₂ , …, x_n . Поскольку к каждому входу x_i присоединен инвертор , на 2n входов решетки А подаются значения переменных

После прохождения решетки A h -й выход принимает значение функции , а последующей операции инвертирования соответствует функция

Полученные k значений (1 ≤ h ≤ k ) подаются на входы решетки B , после прохождения которой на выходе j образуется значение функции

В заключение после инвертирования по законам де Моргана на выходе j получаем значение функции   , j = 1, …, m . Функции f_i соответствует дизъюнкция конъюнктов (определяемых формулами ) таких, что b_hj = 1.

Таким образом, при соответствующем выборе матриц (a_ih ) и (b_hj ) можно одновременно реализовать m произвольных ДНФ, содержащих не более k различных конъюнктов переменных от x ₁ , x ₂ , …, x_n .

Цит. по: Элементы дискретной математики: учебник / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ, 2003. — С. 172–210. — (Серия  «Высшее образование»).

Тема 2. Логика предикатов Предикаты. Кванторы

В текстах естественного языка часто встречаются повествовательные предложения, не являющиеся высказываниями, например эти предложения могут иметь неопределенные параметры. Например, такие предложения, как «У девочки красивая коса», «Число х — простое», «х + у = z ».

Если в такие предложения вместо параметров (переменных) поставить конкретную девочку и конкретные числа х , у , z , то получим высказывания, которые станут истинными или ложными, например «У Веры красивая коса», «Число 17 простое» или «7 + 8 = 9» и т. п.

Повествовательные предложения с параметрами называются предикатами.

Определение 9.1 (предиката ). Функция Р (х ₁ , ... ,   х_п ), определенная на некотором множестве М и принимающая одно из двух значений: И (истина) или Л (ложь):

P : M → {И, Л},

называется п-местным предикатом .

Множество М часто задано по умолчанию обычным математическим контекстом.

Предикаты обозначаются прописными буквами латинского алфавита с перечислением всех переменных. Иногда бывает удобно указывать число независимых переменных предиката верхним индексом

Рассмотренные высказывания — нуль-местные предикаты. Поэтому логика предикатов, как частный случай, включает в себя логику высказываний.

Над предикатами можно производить обычные логические операции. В результате будут получаться новые предикаты. Тем самым логика предикатов является алгеброй предикатов.

Пример 9 .1 . Пусть Р ⁽¹⁾ (х ) — предикат «х делится на два»; Q ⁽¹⁾ ( x ) — предикат «х делится на три».

Тогда выражение

Р ⁽¹⁾ (х ) & Q ⁽¹⁾ ( x )

означает: «х делится на два и х делится на три», т. е, это выражение определяет предикат «х делится на шесть».

Аналогичным образом можно использовать все логические связки логики высказываний:

&, ∨ , ⌉ , ⇒ , ~.

Кроме операций алгебры высказываний в алгебре предикатов имеются еще две дополнительные — операции связывания переменных кванторами. О кванторах уже говорили и использовали их для краткости записи и удобства в определениях и формулировках теорем. Теперь введем эти понятия как унарные операции алгебры предикатов.

Определение 9.2 (квантора общности ). Пусть Р (х ) — некоторый предикат, принимающий значения И или Л для каждого х множества М . Под выражением ( ∀ x ) P ( x ) будем подразумевать высказывание истинное, когда Р (х ) истинно для каждого элемента х из множества М , и ложное — в противном случае. Читается оно: «для всех х Р (х )». Этот новый предикат уже не зависит от х , т. е. является высказыванием. Символ ∀ называется квантором общности , а переменная х называется связанной (квантором). Несвязанные квантором переменные обычно называются свободными .

Определение 9.3 (квантора существования ). Пусть Р (х ) — некоторый предикат. Под выражением ( ∃ х )Р (х ) будем понимать высказывание истинное, когда существует элемент множества М , для которого Р (х ) истинно, и ложное — в противном случае. Читается это выражение так: «существует х такое, что Р (х )», или «существует х , для которого Р (х )». Полученный новый предикат тоже не зависит от х и является высказыванием. Символ ∃ называется квантором существования , а переменная х — связанной (квантором). Несвязанные квантором переменные обычно называют свободными .

Пример 9 .2 . Вернемся к примеру 9.1 о делимости на 3 и на 2. Тогда на множестве натуральных чисел предикат

(∃ х ) Р ⁽¹⁾ (х ) & Q ⁽¹⁾ ( x )) —

истинное высказывание, а предикат

(∀ х ) Р ⁽¹⁾ (х ) & Q ⁽¹⁾ ( x )) —

ложное высказывание.

Замечание 9.1. Операцию связывания кванторами можно применять и к предикатам от большего числа переменных. При этом те переменные в предикате, на которые действует какой-либо квантор, будут связанными, а все остальные — свободными.