Схемы из функциональных элементов

Ориентированная бесконтурная сеть, в которой полюса делятся на входные (входы ) и выходные (выходы ), называется схемой из функциональных элементов . Входные полюса помечаются символами переменных, а каждая вершина, отличная от входного полюса, некоторым функциональным символом. При этом должны выполняться следующие условия:

— если а входной полюс, то полустепень захода вершины а равна нулю: deg ¯(a ) = 0;

— если вершина а не является полюсом и помечена n -местным функциональным символом f , то deg ¯(a ) = п и дуги, входящие в а , перенумерованы от 1 до п .

Функциональным элементом называется всякий подмультиграф схемы, состоящий из невходного полюса а , помеченного соответствующим символом f , и вершины, из которых исходят дуги в вершину а .

Пример 6. 11.1. На рис. 6.25а представлена схема из функциональных элементов. Здесь входные символы помечены символами переменных x ₁ , x ₂ , x ₃ , ¬ — одноместный функциональный символ, соответствующий операции отрицания; & — двухместный символ, соответствующий операции конъюнкции, f ₃ — некоторый двухместный символ, f ₁ , f ₂ , f ₄ — некоторые трехместные символы. Вершины, помеченные символами f ₁ , f ₃ , f ₄ , являются выходными полюсами. Им соответствуют термы: f ₁ (x ₁ , x ₂ , x ₃ ),    f ₂ (f ₁ (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), f ₁ (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), x ₃ )).

На рис. 6.25б изображен функциональный элемент, определяемый вершиной, помеченной символом f ₄ . Ему соответствует устройство, показанное на рис. 6.25в .

Рис. 6.25

В примере 11.1 продемонстрировано, что каждый вывод схемы порождает некоторый терм.

Говорят, что функция f   реализуется схемой ∑, если существует такой выход а схемы ∑, что функция f_a , соответствующая терму выхода a , эквивалента функции f .

Схемы из функциональных элементов с одним выходом, у которых входные полюса помечены символами x ₁ , x ₂ , …, x_n , а вершины, отличные от входных полюсов, — символами ∨ , &, ¬ , называются Х^п -функциональными схемами . Сложностью схемы из функциональных элементов называется число ее вершин, отличных от входных полюсов. Х^п -функциональная схема ∑, реализующая функцию f , называется минимальной , если всякая другая Х^п -функциональная схема, реализующая f , имеет сложность, не меньшую, чем сложность схемы ∑.

Сложность минимальной схемы, реализующей функцию f , называется сложностью функции f в классе схем из функциональных элементов и обозначается через L (f ).

Пример 11.2. Сложность функции  совпадает со сложностью Х ³ -функциональной схемы, изображенной на рис. 6.26, и равна 8: L (f ) = 8.

Рис. 6.26

Мультиплексоры

Мультиплексором 2^т каналов ( ) называется схема с т + 2^т входами у ₁ , у ₂ , ..., у _m ,  и одним выходом g , в которой при у ₁ = b ₁ , у ₂ = b ₂ , ..., у _m = b_m , выход g принимает значение , где  J (b ₁ , …, b_m ) = 2⁰ b ₁ + 2¹ b ₂ + … + 2^{m – 1} b_m .

На рис. 6.27 показан мультиплексор MUX ₈ .

Рис. 6.27

Пример 11.3. Если m = 3, у ₁ = 1,  у ₂ = 0, у ₃ = 1; то g   = z_{J (1, 0, 1) + 1} = z ₆ .

С помощью мультиплексора , придавая переменным  постоянные значения, можно реализовать любую булеву функцию f (у ₁ , у ₂ , ..., у _m ).