Логические сети Определение и реализация булевых функций

Мультиграф G =  M , U , R  , в котором выделено k вершин (полюсов ), называется k -полюсной сетью . Сеть G , задаваемая неориентированным мультиграфом с k полюсами, в которой каждое ребро помечено буквой из алфавита , называется k -полюсной контактной схемой .

На рис. 6.21 приведен пример контактной схемы с двумя полюсами a ₁ и a ₆ .

Рис. 6.21

(k + 1)-полюсная схема, в которой один полюс выделен (он называется входным ), а остальные полюса (выходные ) равноправны, называется (1, k )-полюсником . Таким образом, если в приведенной на рис. 6.21 двухполюсной схеме рассматривать, например, полюс a ₁ как входной, а полюс a ₆ как выходной, то получаем (1, 1)-полюсник .

Ребра контактной схемы называются контактами . Контакт, соответствующий логической переменной x_i , называется замыкающим и обозначается через  Замыкающий контакт пропускает ток при x_i = 1. Контакт, соответствующий литере , называется размыкающим и обозначается как  Через него ток проходит при x_i   =  0. Таким образом, значение 1 интерпретируется как состояние переключателя «ток проходит», а 0 — «ток не проходит». Функции x_i ∧ x_j соответствует последовательное соединение контактов   , а функции x_i ∨ x_j — параллельное соединение контактов

Рис. 6.22

Нетрудно заметить, что схеме, показанной на рис. 6.21, соответствует электрическая схема , приведенная на рис. 6.22, а также схема контактов , изображенная на рис. 6.23. На последнем рисунке показаны контакты, зависящие от значений переменных x ₁ , x ₂ , x ₃ , а также схема соединений контактов.

Рис. 6.23

Пусть a , b — полюса контактной схемы ∑, [a , b ] — некоторая цепь из а в b , K _{[ a , b ]} — конъюнкция литер, приписанных ребрам цепи [a , b ]. Функция f_{a , b} (X ), определяемая формулой , в которой дизъюнкция берется по всем простым цепям схемы, соединяющим полюса а и b , называется функцией проводимости между полюсами а и b схемы ∑.

Говорят, что функция g (Х ) реализуется (1, k )-полюсником , если существует такой выходной полюс b_i , что f_{a , b} (X ) = g  (Х ), где а — входной полюс. (1, 1)-полюсники называются эквивалентными , если они реализуют одну и ту же булеву функцию. Сложностью (1, 1)-полюсника называется число контактов. (1, 1)-полюсник, имеющий наименьшую сложность среди эквивалентных ему схем, называется минимальным . Сложность минимального (1, 1)-полюсника, реализующего функцию f называется сложностью функции f в классе (1, 1)-полюсников и обозначается через L _π (f ).

Заметим, что задача нахождения минимального (1, 1)-полюсника среди эквивалентных данному (1, 1)-полюснику ∑ равносильна нахождению среди функций, реализуемых схемой ∑, функции, имеющей наименьшее число вхождений переменных. Действительно, функцию, реализуемую (1, 1)-полюсником, нетрудно представить в виде формулы, которая строится из литер в соответствии с контактной схемой и имеет ровно столько вхождений переменных, сколько контактов имеет схема. Например, изображенной па рис. 6 .23 схеме соответствует булева функция

Таким образом, задача нахождения минимального (1, 1)-полюсника сводится к минимизации соответствующей булевой функции.

Эффективное уменьшение числа контактов достигается с помощью нахождения минимальной ДНФ булевой функции.

Найдем минимальную ДНФ функции (6.4), реализуемой схемой рис. 6.22. Придавая логическим переменным x ₁ , x ₂ , x ₃ всевозможные значения, по схеме или формуле (6.4) получаем таблицу истинности:

по которой определим совершенную ДНФ:  Используя один из методов нахождения минимальной ДНФ. получаем формулу , эквивалентную формуле (6.4) и соответствующую схеме, состоящей из семи контактов (рис. 6.24а).

Рис. 6.24

Отметим, что схема, изображенная на рис. 6.24а, допускает упрощение, соответствующее формуле , которое приведено на рис. 6.24б и является минимальной схемой. Сложность минимальной схемы равна 6: L _π (f ) = 6.