Карты Карно
Другой способ получения простых импликант формул с малым числом переменных (и, значит, нахождения с помощью матрицы Квайна минимальной ДНФ) основан на использовании так называемых карт Карно .
Карта Карно для п переменных служит эффективным средством иллюстративного представления n -куба. Она содержит 2n ячеек, каждая из которых соответствует одной из 2n возможных комбинаций значений п логических переменных x 1 , x 2 , …, xn . Карта строится в виде матрицы размера 2n – k на 2k так, что ее столбцы соответствуют значениям переменных x 1 , x 2 , …, xk , строки — значениям переменных xk + 1 , … xn , а соседние ячейки (как по вертикали, так и по горизонтали) отличаются только значением одной переменной (рис. 6.5).
Рис. 6.5
На рис. 6.6 приведены карты Карно для функций трех и четырех переменных соответственно. В этих картах все ячейки, отмеченные скобкой xi (по строке и столбцу), представляют входные комбинации с xi = 1, а в неотмеченных строках и столбцах ячейки соответствуют комбинациям с xi = 0 (см. рис. 6.6a , на котором разными способами изображена одна и та же карта). Например, на рис. 6.6а ячейка а соответствует набору 001 значений переменных x 1 , x 2 , x 3 . Отметим, что для каждой функции может быть построено несколько различных карт. На рис. 6.6б изображены две карты Карно для функции четырех переменных. Первая карта соответствует разбиению переменных {{x l , x 2 }, {x 3 , x 4 }}, а вторая — {{х 1 }, {х 2 , х 3 , х 4 }}.
Рис. 6.6
У каждой вершины n -куба есть ровно п смежных с ней вершин, т. е. вершин, отличающихся от нее только одной координатой. Поскольку в карте Карно каждая ячейка может иметь не более четырех ячеек, соседних по строке или столбцу, для представления точек, отличающихся только на одну координату, необходимо использовать и более удаленные ячейки. Например, точки b и c на рис. 6.6б отличаются только значением переменной x 3 , т. е. являются смежными.
Булева функция может быть представлена на карте Карно выделением 1-ячеек (т. е. ячеек, в которых функция принимает значение, равное 1). Подразумевается, что необозначенные ячейки соответствуют 0-точкам.
На рис. 6.7 изображена карта, представляющая булеву функцию f (x , y , z ), для которой f (0, 0, 0) = f (1, 1, 0) = f (1, 1, 1) = f (1, 0, 1) = 0, f (0, 1, 0) = f (1, 0, 0) = f (0, 0, 1) = f (0, 1, 1) = 1.
Рис. 6.7
Для построения импликант берутся
всевозможные наборы 1-ячеек, образующих
вершины некоторого k
-куба (т. е. 2k
точек таких, что пары соседних
отличаются ровно одной координатой).
Совпадающие координаты образуют набор
(δ1 , …,
δn
–
k
), и требуемая импликанта имеет
вид
—
переменная, соответствующая значению
δj
.
Определение простых импликант функции сводится к нахождению всех k -кубов, которые не содержатся в кубах более высокого порядка.
После нахождения простых импликант
задача построения минимальной ДНФ
сводится к изучению матрицы Квайна.
При наглядном размещении простых
импликант в карте Карно удается
непосредственно находить минимальную
ДНФ, выбирая те простые импликанты,
которые покрывают все единицы и имеют
наименьшее возможное число вхождений
переменных. Так, минимальной ДНФ для
функции, изображенной на рис. 6.8, является
формула
Рис. 6.8