Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Если х — логическая переменная, δ ∈ {0, 1}, то выражение
называется литерой . Литеры x и называются контрарными.
Элементарной конъюнкцией или конъюнктом называется конъюнкция литер. Элементарной дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция литер.
Дизъюнкция конъюнктов называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ); конъюнкция дизъюнктов называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
Пример 4.2. Формула
—
ДНФ, формула
—
КНФ, а формула
является одновременно КНФ и ДНФ.
Теорема 4.1. 1. Любая формула эквивалентна некоторой ДНФ .
2. Любая формула эквивалентна некоторой КНФ .
Опишем алгоритм приведения формулы к ДНФ.
1. Выражаем все логические операции, участвующие в построении формулы, через дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, используя эквивалентности (φ → ψ) ~ (¬ φ ∨ ψ), (φ ↔ ψ) ~ (¬ φ ∨ ψ) ∧ (¬ ψ ∨ φ ) и определения операций |, ↓ , и ⊕ .
2. Используя законы де Моргана, переносим все отрицания к переменным и сокращаем двойные отрицания по правилу ¬¬ x ~ x .
3. Используя закон дистрибутивности (φ ∧ (ψ ∨ χ)) ~ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)), преобразуем формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше дизъюнкций.
В результате применения пп. 1–3 получается ДНФ данной формулы.
Совершенной ДНФ называется дизъюнкция
некоторых конституент единицы, среди
которых нет одинаковых, а совершенной
КНФ называется конъюнкция некоторых
конституент нуля, среди которых нет
одинаковых. Таким образом, СДНФ (СКНФ)
есть ДНФ (КНФ), в которой в каждый конъюнкт
(дизъюнкт) каждая переменная xi
из набора {x
1
, x
2
, …, xn
} входит ровно один раз, причем
входит либо сама xi
, либо ее отрицание
.
Для решения задачи нахождения СДНФ и СКНФ, эквивалентных исходной формуле φ , предварительно рассмотрим разложения булевой функции f (x 1 , x 2 , …, xn ) по k переменным (для определенности по x 1 , x 2 , …, xk ) — разложения Шеннона .
Теорема 4.2 (первая теорема Шеннона).
Любая булева функция f (x 1 , x 2 , …, xn ) представима в виде разложения Шеннона:
Теорема 4.3 (вторая теорема Шеннона).
Любая булева функция f (x 1 , x 2 , …, xn ) представима в виде разложения Шеннона:
Минимизация булевых функций в классе днф
Каждая формула имеет конечное число вхождений переменных. Под вхождением переменной понимается место, которое переменная занимает в формуле. Задача заключается в том, чтобы для данной булевой функции f найти ДНФ, представляющую эту функцию и имеющую наименьшее число вхождений переменных.
Элементарным произведением называется конъюнкт, в который любая переменная входит не более одного раза.
Пример 6.1. Формула
—
элементарное произведение, а формула
элементарным
произведением не является.
Формула φ(x
1
, x
2
, …, xn
) называется импликантой
формулы ψ(x
1
, x
2
, …, xn
), если φ — элементарное произведение
и φ ∧ ψ ~ φ
, т. е. для соответствующих формулам
φ и ψ функций
справедливо
неравенство
Формула φ(x
1
, x
2
, …, xn
) называется импликантой
функции f , если
φ — импликанта совершенной ДНФ,
представляющей функцию f
. Импликанта
формулы
ψ называется простой , если после
отбрасывания любой литеры из φ не
получается формула, являющаяся
импликантой формулы ψ.
Дизъюнкция всех простых импликант данной формулы (функции) называется сокращенной ДНФ .
Теорема 6.1. Любая булева функция , не являющаяся константой 0, представима в виде сокращенной ДНФ .
Сокращенная ДНФ может содержать лишние импликанты, удаление которых не меняет таблицы истинности. Если из сокращенной ДНФ удалить все лишние импликанты, то получается ДНФ, называемая тупиковой .
Заметим, что представление функции в виде тупиковой ДНФ в общем случае неоднозначно.
Выбор из всех тупиковых форм формы с наименьшим числом вхождений переменных дает минимальную ДНФ (МНДФ ).
Рассмотрим метод Квайна для нахождения МДНФ, представляющей данную булеву функцию. Определим следующие три операции:
— операция полного склеивания —
;
— операция неполного склеивания —
;
— операция элементарного поглощения
—
.
Теорема 6.2 (теорема Квайна). Если исходя из совершенной ДНФ функции произвести все возможные операции неполного склеивания , а затем элементарного поглощения , то в результате получится сокращенная ДНФ , т. е. дизъюнкция всех простых импликант .
В силу принципа двойственности для булевых алгебр все приведенные понятия и рассуждения очевидным образом можно преобразовать для нахождения минимальных конъюнктивных нормальных форм (МКНФ).