Функции алгебры логики

Семантически формулы полностью характеризуются таблицами истинности. При этом можно забыть о синтаксической структуре самих формул и иметь дело с таблицами истинности. Таким образом, мы приходим к понятию функции алгебры логики, которое и будет исследоваться в дальнейшем.

Функцией алгебры логики (ФАЛ) от п переменных (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) называется любая функция f : {0, 1}ⁿ → {0, 1}, т. е. функция, которая произвольному набору (δ₁ , δ₂ , …, δ_n ) нулей и единиц ставит в соответствие значение f (δ₁ , δ₂ , …, δ_n ) ∈ {0, 1}.

Функции алгебры логики называются также булевыми функциями , двоичными функциями и переключательными функциями .

Рис. 6.2

Булевой функцией описываются преобразования некоторым устройством входных сигналов в выходные. Предположим, что устройство, показанное на рис. 6.2, имеет п входов x ₁ , x ₂ , …, x_n , на которые может подаваться или не подаваться ток, и один выход, на который ток подается или не подается в зависимости от подачи тока на входы. При этом значение переменной x_i = 1 интерпретируется как поступление тока на i -й вход, а x_i = 0 — как непоступление тока. Значение f (δ₁ , δ₂ , …, δ_n ) равно 1, если при x ₁ = δ₁ , …, x_n = δ_n ток на выход проходит, и f (δ₁ , δ₂ , …, δ_n ) = 0, если ток не проходит.

Например, операции конъюнкции x   ∧  y соответствует устройство с двумя входами и одним выходом. При этом значение выхода равно 1, тогда и только тогда, когда оба значения входов равны 1 (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Булева функция f (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) полностью определяется своей таблицей истинности :

В каждой строке таблицы вначале задается набор значений переменных (δ₁ , δ₂ , …, δ_n ), a затем — значение функции на этом наборе.

Если булева функция f и формула φ имеют одну и ту же таблицу истинности, то будем говорить, что формула φ представляет функцию f .

Булева функция также однозначно задается перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 0, либо перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 1.

Вектором значений булевой функции f (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) называется упорядоченный набор всех значений функции f , при котором значения упорядочены по лексикографическому порядку множества аргументов {0, 1}ⁿ .

Булева функция f (x ₁ , x ₂ , …, x_n ), принимающая значение 1 (соответственно 0) на всех наборах нулей и единиц: f (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) ≡ 1 (соответственно f (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) ≡ 0), называется константой 1 (константой 0).

Эквивалентность формул

Формулы φ (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) и ψ(x ₁ , x ₂ , …, x_n ) называются эквивалентными (φ ~ ψ), если совпадают их таблицы истинности, т. е. совпадают представляемые этими формулами функции

Отметим основные эквивалентности между формулами:

1) ((φ ∧ ψ) ∧ χ) ~ (φ ∧ (ψ ∧ χ)),   ((φ ∨ ψ) ∨ χ) ~ (φ ∨ (ψ ∨ χ)) (ассоциативность ∧ и ∨ );

2) (φ ∧ ψ) ~ (φ ∧ ψ ),   (φ ∨ ψ) ~ (φ ∨ ψ ) (коммутативность ∧ и ∨ );

3) (φ ∧ φ ) ~ φ ,   (φ ∨ φ ) ~ φ (идемпотентность ∧ и ∨ );

4) (φ ∧ (ψ ∨ χ)) ~ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)),   (φ ∨ (ψ ∧ χ)) ~ ((φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)) (законы дистрибутивности );

5) (φ ∧ (φ ∨ ψ) ~ φ , (φ ∨ (φ ∧ ψ) ~ φ (законы поглощения );

6) ¬ (φ ∧ ψ) ~ ¬ φ ∨¬ ψ,   ¬ (φ ∨ ψ) ~ ¬ φ ∧ ¬ ψ (законы де Моргана )

7) ¬¬ φ ~ φ (закон двойного отрицания);

8) φ → ψ ~ ¬ φ ∨ ψ;

9) φ ↔ ψ ~ ((φ → ψ) ∧ (ψ → φ ) ~ (¬ φ ∨ ψ) ∧ (¬ ψ ∨ φ ); 

10) (φ ∨ ¬ φ ψ) ~ (φ ∨ ψ),   (¬ φ ∨ φ ψ) ~ (¬ φ ∨ ψ);

11) φ (¬ φ ∨ ψ) ~ φ ψ,   ¬ φ (φ ∨ ψ) ~ ¬ φ ψ  

Формула φ (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) называется выполнимой (опровержимой ), если существует такой набор значений переменных, при котором формула принимает значение 1 (соответственно 0).

Формула φ (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) называется тождественно истинной общезначимой или тавтологией (тождественно ложной или противоречием ), если эта формула принимает значение 1 (соответственно 0) при всех наборах значений переменных, т. е. функция f является константой 1 (константой 0).

Если φ — тождественно истинная формула, то будем писать ⊨ φ . В противном случае пишем ⊭ φ .

Таким образом, ⊨ ⊭ x ∧ y , ⊭

Формула φ тождественно ложна тогда и только тогда , когда ¬ φ тождественно истинна (⊨ ¬ φ );

Формула φ опровержима тогда и только тогда , когда она не является тождественно истинной (⊭ φ );

Формула φ выполнима тогда и только тогда , когда она не является тождественно ложной .

Отметим, что тождественно истинные (соответственно тождественно ложные) формулы образуют класс эквивалентности по отношению ~.