Булевы решетки подмножеств

Среди всех булевых решеток выделим класс решеток, играющих большую роль в математической информатике.

Определение 7.18. Семейство L подмножеств опорного множества X называется решеткой подмножеств для X , если выполнены условия:

1)   X ∈ L ; ∅ ∈ L (эти множества играют роль единицы и нуля);

2)   из λ ₁ , λ ₂ ∈ L следует λ ₁ ∩ λ ₂ ∈ L ;

3)   из λ ₁ , λ ₂ ∈ L следует λ ₁ ∪ λ ₂ ∈ L ;

4)   из λ ₁ , λ ₂ ∈ L следует λ ₁ λ ₂ ∈ L .

Замечание 7.3. 1. Решетка подмножеств — это булева решетка подмножеств с нулем, единицей и с операцией дополнения λ ∈ L для любого λ ∈ L . При этом

2. Отношение порядка в решетке подмножеств есть отношение включения λ ₁ ⊆ λ ₂ .

При этом:

Определение 7.19. Элементы λ ₁ , λ ₂ называются дизъюнктными , если их пересечение пусто: λ ₁ ∩ λ ₂ = ∅ .

Для одного множества X можно определить различные решетки подмножеств. Среди решеток имеются минимальная L ₀ , состоящая из двух подмножеств ∅ и X , и максимальная L _* , где L _* = 2 ^X , состоящая из всех возможных подмножеств опорного множества X .

Пример 7 .20 . Рассмотрим множество X всех преподавателей вуза.

Для этого множества рассмотрим три решетки подмножеств.

L ₁ — решетка пола;

L ₂ — решетка научных званий;

L ₃ — решетка должностей.

Атомы этих решеток:

в L ₁ — элементы λ ₁ , λ ₂ ;

в L ₂ — элементы μ₁ , μ₂ , μ₃ ;

в L ₃ — элементы ν ₁ , ν ₂ , ν ₃ , ν ₄ .

Рис. 7.5. Диаграмма Хассе решетки L ₁ (а ) и ее диаграмма Венна (б )

Рис. 7.6. Диаграмма Хассе решетки L ₂ (а ) и ее диаграмма Венна (б )

Элементы решетки изображаются диаграммами Хассе, если этих элементов небольшое число. Диаграмма Хассе решетки L ₁ (см. рис. 7.5, о) и диаграмма Венна (см. рис. 7.5, б ) изображены на рис. 7.5.

Для решетки L ₂ диаграмма Хассе будет иметь вид, показанный на рис. 7.6, а , диаграмма Венна — на рис. 7.6, б .

Атомы и шкалы решеток подмножеств

Так как решетки подмножеств это булевы алгебры, то в них можно определить системы образующих и выражать подмножества формулами через такие образующие.

Определение 7.20. Пусть L — решетка подмножеств для X . Элемент а ∈ L называется атомом решетки , если а ≠ ∅ и не существует l   ≠ а , l ≠ ∅ , такого, что

∅ ⊂ l ⊂ a .

В решетке L ₂ рассмотренного примера атомами будут μ₁ — доктора наук, μ₂ — кандидаты наук, μ₃ — без научных степеней. Это самые конкретные понятия решетки. Алгоритм проверки на атомарность — отсутствие более конкретных непустых понятий.

Определение 7.21. Пусть L — решетка подмножеств для X . Тогда подсемейство элементов Ш решетки L называется шкалой решетки , если любой элемент решетки выражается через элементы шкалы Ш с помощью операций пересечения, объединения и разности ( ∩ ,∪ , ).

Итак, в силу того что L имеет алгебраическую структуру, в L можно выбрать систему образующих — шкалу.

Пусть Ш = {ω₁ ,… ω _k } — шкала L . Тогда ∀δ ∈ L существует его выражение через элементы шкалы, т. е.

δ = f (ω₁ ,… ω _k ),

где f — функция алгебры множеств, использующая операции объединения, пересечения, дополнения (разности).

Определение 7.22. Шкала Ш решетки L называется базовой , если ни один из элементов Ш не выражается через другие элементы Ш с помощью операций объединения, пересечения и разности.

Шкала называется атомарной или разбиением опорного множества , или координатной сеткой , если все ее элементы — атомы.

Базовая шкала в конечной решетке L называется минимальной (максимальной ), если в решетке L нет шкалы с меньшим (большим) числом элементов.

Теорема 7.3. Любая решетка имеет хотя бы одну шкалу, например саму решетку.

Теорема 7.4. Решетка подмножеств определяется однозначно любой своей шкалой.

Доказательство . От противного. Пусть существуют две решетки подмножеств L и  с одной и той же шкалой Ш.

Тогда для любого элемента λ ∈ L имеем представление его через элементы шкалы с помощью операций объединения, пересечения и разности.

Но в силу того что элементы шкалы Ш принадлежат также и другой решетке , то, производя действия над элементами Ш в соответствии с представлением X , будем получать каждый раз элементы L . Таким образом,

Аналогично доказывается, что элемент   принадлежит и решетке L , т. е. решетки L и  совпадают.

Теорема 7.5. Пусть L — произвольная решетка для X и L ≠ L ₀ .

Тогда ее атомарная шкала Ш^ат = {а ₁ , ..., а_п } = Ш ^{m ах} является максимальной шкалой (самой большой, самой неэкономной). Мощность |Ш^ат | =  n , | L | = 2^п .

Теорема 7.6. Пусть L — конечная решетка для X и L ≠ L ₀ . Тогда существует

Ш ^min = {ω₁ ,… ω _k }, и число ее элементов k подчиняется равенству:

k = |Ш ^min | = [ log ₂ |Ш ^{m ах} |] + 1,

где [ log ₂ |Ш ^{m ах} |] — целая часть числа. Число элементов решетки

Пример 7 .21 . Пусть X — времена событий, происходящих в определенные дни недели, и пусть

Ш^ат = {пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс}.

Тогда число элементов соответствующей решетки подмножеств | L | = 2⁷ .

Найдем Ш ^min для L . Число k = [ log ₂ 7] + 1 = 3. Следовательно, минимальная шкала

Ш ^min = {ω₁ , ω₂ , ω₃ }.

Построим эту минимальную шкалу следующим образом. Пронумеруем элементы атомарной шкалы двоичными числами:

пн — 001,

вт — 010,

ср — 011,

чт — 100,

пт — 101,

сб — 110,

вс — 111.

Тогда за ω₁ возьмем объединение тех атомов, у которых в первом разряде 1, т. е.

ω₁ = {пн ∪ ср ∪ пт ∪ вс},

далее ω₂ — объединение тех атомов, у которых во втором разряде 1, и т. д.:

ω₂ = {вт ∪ ср ∪ сб ∪ вс},

ω₃ = {чт ∪ пт ∪ сб ∪ вс}.

Теперь все элементы можно выразить через элементы минимальной шкалы. В самом деле:

и т. д.

Замечание 7.4. На практике часто выгоднее использовать минимальные шкалы, а не атомарные.

Вывод . Всякая решетка L подмножеств X обладает тремя важными свойствами, которые делают ее одним из основных понятий математической информатики.

•   Решетка L — частично упорядоченное множество с отношением включения множеств.

•   Решетка L — булева алгебра с тремя операциями: две бинарные операции (объединение и пересечение) и одна унарная операция (дополнение), для которых выполняются аксиомы булевой алгебры.

•   Решетка L — топология на опорном множестве X и, следовательно, пара ( X ,  L ) — топологическое пространство.

Цит. по: Дискретная математика: учебник для студ. вузов / Т.С. Соболева, А.В. Чечкин; под ред. А.В. Чечкина. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. — С. 96 – 108. — (Университетский учебник. Сер. Прикладная математика и информатика).

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. — М: Высшая школа, 1986. — 312 с.;

      Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, 2000. — 540 с.;

      Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. — М: Энергоатомиздат, 1988 г. — 450 с.

Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. — М: Энергоатомиздат, 1988 г. — 450 с.

Там же.

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. — М: Высшая школа, 1986. — 312 с.

Там же.

Там же.

Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. — М: Энергоатомиздат, 1988 г. — 450 с.

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. — М: Высшая школа, 1986. — 312 с.

Там же.

Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. — М: Энергоатомиздат, 1988 г. — 450 с.

Там же.

Там же.

Там же.

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. — М: Высшая школа, 1986. — 312 с.