Фильтры и ультрафильтры

Другим обобщением понятия сходимости последовательности является понятие фильтра французского математика А. Картана. Теория А. Картана с точки зрения сходимости эквивалентна теории Мура и Смита. Но для математической информатики понятие фильтра — более важное.

Определение 7.10. Пусть X — произвольное множество. Тогда непустое семейство F подмножеств X называется фильтром в X , если:

1)   пустое множество ∅ не принадлежит F ;

2)   для всякого А ∈ F любое надмножество В ⊇ А принадлежит F ;

3)   пересечение конечного числа множеств из F принадлежит F .

При этом говорят, что фильтр F фильтрует множество X .

Пример 7 .10 . Тривиальный фильтр. Семейство подмножеств F , состоящее лишь из самого множества X , представляет собой фильтр, называемый тривиальным .

Пример 7 .11 . Ультрафильтр. Рассмотрим точку x ₀ ∈ X . Семейство всех подмножеств X , содержащих эту точку, является фильтром, который называют ультрафильтром . Ультрафильтр фильтрует множество X вплоть до одноточечного множества, состоящего из одной данной точки { x ₀ }.

Пример 7 .12 . Элементарный фильтр. Если х_п , п ∈ N , — бесконечная последовательность точек множества X , то семейство F всех подмножеств А ⊆ X , каждое их которых содержит все х_п , кроме конечного их числа, является фильтром. Этот фильтр называется элементарным , ассоциированным с последовательностью х_п , п ∈ N . Фильтрация множества X происходит путем отбрасывания все нового и нового конечного числа точек последовательности х_п , п ∈ N . Например, если рассмотреть множество натуральных чисел X = N и последовательность натуральных чисел х_п = п , п ∈ N , то получим так называемый элементарный фильтр Фреше .

Пример 7 .13 . Фильтр окрестностей точки. Пусть X — топологическое пространство, и x ₀ ∈ X — точка пространства. Тогда семейство всех окрестностей точки x ₀ образует фильтр F , называемый фильтром окрестностей этой точки . В случае решетчатой топологии фильтрация множества X этим фильтром происходит вплоть до того элемента разбиения множества X , который содержит точку x ₀ .

Определение 7.11. Пусть во множестве X имеются два фильтра F ₁ ,  F ₂ . Говорят, что фильтр F ₁ мажорирует фильтр F ₂ и пишут F ₂ ⊇ F ₁ , если семейство F ₁ является подсемейством семейства F ₂ .

Пример 7 .14. Если X — топологическое пространство, то любой фильтр окрестностей точки x ₀ ∈ X будет мажорировать тривиальный фильтр, а ультрафильтр для этой точки будет мажорировать любой фильтр окрестностей той же точки.

Определение 7.12. Пусть x ₀ — произвольная точка топологического пространства X и F — фильтр множества X . Говорят, что фильтр F сходится (фильтрует X ) к точке x ₀ ∈ X , если он мажорирует фильтр окрестностей этой точки. При этом точку x ₀ называют предельной точкой фильтра F . Другими словами, всякая окрестность предельной точки должна входить в состав семейства F .

На практике часто вместо фильтра используют часть фильтра, по которому весь фильтр однозначно восстанавливается.

Определение 7.13. Пусть F — фильтр множествах. Система В подмножеств из F называется базисом (базой ) этого фильтра , если для каждого подмножества А ∈ F найдется подмножество β ∈ В , такое, что А ⊇ β.

Пример 7 .15 . Если F — фильтр всех окрестностей точки x ₀ топологического пространства X , то всякая фундаментальная система окрестностей этой точки будет базисом этого фильтра. В случае решетчатой топологии одним из базисов фильтра всех окрестностей будет одноэлементное семейство, состоящее из того элемента разбиения множества X , которое содержит точку x ₀ .