Тема 4. Элементы общей топологии

Наряду с порядковыми (отношения) и алгебраическими структурами на множествах в дискретной математике не менее важное значение имеет понятие сходимости, или предела. С этим понятием связано одно из фундаментальных свойств информации. Понятие сходимости является основным в математическом анализе, функциональном анализе, во всей непрерывной (высшей) математике и ее приложениях. Но для дискретной математики на первом месте в понятии сходимости выступают не бесконечно малые, не метрика и не близость точек, а семейства подмножеств, как их понимают в топологии.

Топологические пространства, сходимость к точке и направленности

Определение 7.1. Пусть X — произвольное множество, τ = { U_i : i ∈ I } — некоторое семейство его подмножеств. Множество индексов I может иметь произвольную мощность. Говорят, что семейство τ задает топологию во множестве X , если выполняются три условия:

1)   все множество X и пустое множество ∅ принадлежат семейству τ;

2)   объединение любого набора множеств из τ принадлежит семейству τ;

3)   пересечение конечного числа множеств из τ принадлежит τ.

Множество X вместе с заданной на нем топологией τ называется топологическим пространством и обозначается X , или подробнее ( X , τ). При этом множества из семейства τ называются открытыми множествами из X .

Пример 7 .1 . Метрическая топология. Всякое метрическое пространство  Х , ρ  , где ρ: X × X → R ⁺ — метрика пространства, является топологическим пространством с метрической топологией . Открытыми множествами метрического пространства называются множества, которые содержат наряду с любой своей точкой x ₀ некоторый шар радиусом r > 0 с центром в точке x ₀ ,

O_r ( x ₀ ) = {х : ρ(х , х ₀ ) < r }.

Пример 7 .2 . Тривиальная топология. Рассмотрим непустое множество X и топологию на нем τ, которая задается двумя множествами X и ∅ . Такая топология называется тривиальной .

Пример 7 .3 . Дискретная топология. Рассмотрим непустое множество X и зададим на нем топологию τ, которая содержит все одноточечные подмножества. Тогда любое подмножество X будет открытым множеством, т. е. τ содержит все подмножества X . Такая топология называется дискретной .

Пример 7 .4 . Решетчатая топология. Рассмотрим непустое множество X и разобьем его на непустые подмножества (части). Зададим топологию в X из подмножеств этого разбиения, всевозможных объединений этих подмножеств и пустого множества. Такая топология называется решетчатой . Частным случаем решетчатой топологии является тривиальная, когда разбиение состоит только из одной части X , и дискретная, когда разбиение состоит только из одноточечных подмножеств.

Определение 7.2. Пусть на одном и том же непустом множестве X заданы две топологии τ₁ и τ₂ . Если τ₁ ⊆ τ₂ , то говорят, что топология τ₂  мажорирует топологию τ₁ . При этом если τ₁ ≠ τ₂ , то говорят, что топология τ₂ сильнее топологии τ₁ или τ₁ слабее τ₂ .

Пример 7 .5 . Для любого непустого множества дискретная топология мажорирует любую другую топологию. В свою очередь любая топология мажорирует тривиальную топологию.

Определение 7.3. Подмножество О топологического пространства X называется окрестностью точки x ₀ ∈ X и пишут O ( x ₀ ), если оно содержит некоторое открытое подмножество X , содержащее точку x ₀ .

Определение 7.4. Система  окрестностей точки x ₀ топологического пространства X называется фундаментальной системой окрестностей этой точки, если для каждой окрестности U этой точки существует окрестность V ∈ , такая, что V ⊆ U .

Пример 7 .6 . В евклидовом пространстве Rⁿ совокупность открытых шаров радиусами  содержащих точку x ₀ , образует фундаментальную систему окрестностей этой точки. Другую фундаментальную систему окрестностей точки x ₀ образуют открытые шары радиусами — содержащие эту точку.

Определение 7.5. Точка x ₀ топологического пространства называется предельной точкой множества М ⊆ X , если любая окрестность точки x ₀ содержит хотя бы одну точку из М , отличную от x ₀ .

Определение 7.6. Последовательность точек х_п , п = 1,   2, ..., топологического пространства X называют сходящейся к точке x ₀ ∈ X и пишут   если любая окрестность O ( x ₀ ) этой точки содержит все точки последовательности, за исключением некоторого конечного их числа. Иногда говорят по-другому, что любая окрестность содержит все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Определение 7.7. Частично упорядоченное множество S называется направленным , если для любых двух элементов s ₁ , s ₂ ∈ S существует s ∈ S , такое, что s ≥ s ₁ и s ≥ s ₂ .

Направленное множество — обобщение множества натуральных чисел, которое является частным случаем направленного множества. В свою очередь это понятие позволило американским математикам Муру и Смиту обобщить понятие последовательности, к которому переходим.

Определение 7.8. Пусть X — топологическое пространство, S — направленное множество. Тогда отображение f : S → X называется обобщенной последовательностью , или направленностью . Часто пишут x_s , s ∈ S . При этом множество S называется множеством индексов направленности .

Очевидно, что любая последовательность точек из X есть направленность в X .

Пример 7 .7 . Рассмотрим в топологическом пространстве X точку x ₀ . Пусть  — фундаментальная система окрестностей точки x ₀ , например все окрестности точки x ₀ . Выбирая по одной точке x_s из каждой окрестности s ( x ₀ ) ∈ , получим направленность x_s , s ∈ S , в которой множество индексов S упорядочение по обратному включению, т. е. s ₁ ≤ s ₂ , если s ₁ ( x ₀ ) ⊇ s ₂ ( x ₀ ).

Теперь перейдем к обобщению понятия предела последовательности.

Определение 7.9. Направленность x_s , s ∈ S , в топологическом пространстве X называется сходящейся к точке x ₀ ∈ X , если для каждой окрестности U этой точки найдется элемент s_U ∈ S , такой, что при всех s ≥ s_U выполняется x_s ∈ U . При этом точку x ₀ называют пределом , направленности x_s , s ∈ S , и пишут

Пример 7 .8 . Пусть x_s , s ∈ S , — направленность из предыдущего примера. Тогда она будет сходящейся к точке x ₀ . В самом деле, для любой окрестности U точки x ₀ найдется окрестность s_U ∈ S (из фундаментальной системы окрестностей S ), такая, что s_U ∈ U . Тогда для всех окрестностей s ∈ S , s ≥ s_U будет выполняться s ⊆ U и, следовательно, x_s ∈ U .

Пример 7 .9 . Всякая сходящаяся в топологическом пространстве последовательность является сходящейся направленностью в том же пространстве и к тому же пределу.