Подсистемы

Алгебраическая система  называется подсистемой системы   (обозначается через ), если выполняются следующие условия:

а) А ⊆ В ;

б) для любого функционального символа f   ⁿ ∈ ∑, соответствующих функций  и  и любых элементов a ₁ , a ₂ , …, a_n ∈ А выполняется равенство , т.  е. интерпретации символа f действуют одинаково па элементах из A ;

в) для любого предикатного символа P ^{( n )} ∈ ∑, соответствующих предикатов  и  справедливо равенство , т. е. предикат  содержит в точности те кортежи отношения , которые состоят из элементов множества А .

Если ∑ — функциональная (предикатная) сигнатура, то подсистема  алгебры (модели)  называется подалгеброй (подмоделью ).

Теорема 3.1. Если  — алгебраическая система , X ⊆ В , X ≠ ∅ , то существует единственная подсистема  с носителем , В (Х ), такая, что X  ⊆  B (Х ) м  для любой подсистемы для которой X ⊆ A .

Для описания устройства подсистемы  определим индукцией по построению понятие терма сигнатуры ∑:

1) переменные и константные символы из ∑ суть термы;

2) f ∈ ∑ — n -местный функциональный символ, t ₁ , t ₂ , …, t_n — термы, то f (t ₁ , t ₂ , …, t_n ) — терм;

3) никаких термов, кроме построенных по пп. 1, 2, нет.

Таким образом, термом является любое функциональное выражение, составленное с помощью сигнатурных функциональных символов.

Множество всех термов сигнатуры ∑ обозначается через Т (∑).

Конгруэнции. Фактор-алгебры. Теорема о гомоморфизме

Конгруэнцией на алгебре  называется такое отношение эквивалентности θ ∈ А ² , при котором для любого n ∈ ω, любого n -местного символа f  ∈  ∑  (напомним, что сигнатура алгебры состоит только из функциональных символов), произвольных наборов (a ₁ , a ₂ , …, a_n ), (b ₁ , b ₂ , …, b_n ) ∈ А ⁿ , если a ₁ θ b ₁ , a ₂ θ b ₂ , …, a_n θ b_n то f (a ₁ , a ₂ , …, a_n )θ f (b ₁ , b ₂ , …, b_n ).

Это означает, что все операции согласованы с отношением эквивалентности θ . Например, для операции сложения это выглядит так: для любых элементов х ,  у   ∈   А , любых а ∈   θ (х ), b ∈   θ (y ) элемент а + b принадлежит классу θ (х + у ).

Рассмотрим фактор-множество множества А по конгруэнции θ : А   /  θ = {θ (х )  | х   ∈   А }. Определим на этом множестве алгебру сигнатуры ∑. Константе с алгебры А поставим в соответствие элемент θ (c ), который в А   /  θ будет интерпретировать константный символ с . Если f — n -местный символ из ∑, то зададим на множестве А   /  θ действие функции f по правилу

Убедимся, что для любых x ₁ , …, x_n   ∈   А это определение корректно, т.  е. не зависит от выбора представителей классов эквивалентности. Действительно,  то x_i θ y_i , откуда в силу свойства конгруэнции имеем f (x ₁ , …, x_n )θ f (y ₁ , …, y_n ), т. е. θ (f (x ₁ , …, x_n )) = θ (f (y ₁ , …, y_n )).

Получившаяся алгебра  называется фактор-алгеброй алгебры  по конгруэнции θ .

Очевидно, что отображение А → А   /  θ , при котором элементу х   ∈   А ставится в соответствие класс θ (x ), является эпиморфизмом алгебры  на фактор-алгебру  Этот эпиморфизм называется естественным гомоморфизмом.

Если  — гомоморфизм алгебр, то множество Kerφ  ⇌   {a , a ′  | φ (α )  = φ (α ′)} оказывается конгруэнцией на алгебре  и называется ядром гомоморфизма φ .

Цит. по: Элементы дискретной математики: учебник / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ, 2003. — С. 48–57. — (Серия  «Высшее образование»).