Тема 3. Алгебраические системы Определения и примеры

Часто объектом изучения в математике и ее приложениях служит множество вместе с определенной на нем структурой. Читателю уже известны поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства, обеспечивающие связь геометрических объектов с операциями над числами, множества с введенными на них бинарными отношениями. Все эти структуры образуют алгебраические системы, представляющие собой некоторые миры с определенными в них законами. Перейдем к точному определению алгебраической системы.

Рассмотрим непустое множество А . Введем понятие n -местной операции на множестве  Отметим, что, поскольку операция f является функцией, для любого набора (x ₁ , …, x_n ) ∈ А^п результат применения операции f (x ₁ , …, x_n ) однозначно определен. Так как область значений операции f лежит в множестве А , то будем говорить, что операция f замкнута на множестве А .

Сигнатурой или языком ∑ называется совокупность предикатных и функциональных символов с указанием их местности. 0-местный функциональный символ называется константным символом или просто константой . Если α — функциональный или предикатный символ, то его местность обозначается через μ(α). n -местные предикатные и функциональные символы часто будем обозначать соответственно через P ^{( n )} и f ^{( n )} . Если в рассматриваемой сигнатуре используются стандартные символы, такие, например, как + для операции сложения, ≤ для отношения порядка, | для отношения делимости, 0 для константного символа и другие, то мы просто пишем ∑ = {≤}, ∑ = {≤, +, ·, 0}, ∑ = { +, –, |, 0, 1} и т. д.

Алгебраической системой  сигнатуры ∑ называется непустое множество А , где каждому n -местному предикатному (функциональному) символу из ∑ поставлен в соответствие п- местный предикат (соответственно операция), определенный на множестве А . Множество А называется носителем или универсумом алгебраической системы  А , ∑ . Предикаты и функции, соответствующие символам из ∑, называются их интерпретациями . Обозначать интерпретации будем теми же буквами, что и соответствующие символы сигнатуры. Заметим, что интерпретацией любого константного символа является некоторый элемент (константа ) из А .

Алгебраические системы в дальнейшем будут обозначаться готическими буквами  (возможно, с индексами), а их носители — соответствующими латинскими буквами А , В ,... (с соответствующими индексами). Иногда мы будем отождествлять носитель с алгебраической системой.

Мощностью алгебраической системы  называется мощность ее носителя А . В дальнейшем будем часто опускать слово «алгебраическая» и называть  системой или структурой .

Сигнатура ∑ называется функциональной , (предикатной ), если она не содержит предикатных (функциональных) символов. Система  называется алгеброй (моделью ), если ее сигнатура функциональна (предикатна).

Алгебра  сигнатуры ∑ = {f }, где μ(f )= 2, называется группоидом . Единственная здесь операция f обычно обозначается символом ·:  Если А — конечное множество, действия операции · можно задать квадратной таблицей, в которой для каждой пары (a_i , a_j ) ∈ А ² записан результат действия · (a_i , a_j ). Такая таблица называется таблицей Кэли группоида . Группоид  называется полугруппой , если ·  — ассоциативная операция, т.  е. для всех элементов x , y , z ∈ А верно х · (у · z ) = (х · у ) · z . Полугруппа  называется моноидам , если существует элемент е ∈ А , называемый единицей, такой, что е   · х = х · е = х для всех х ∈ А . Полугруппы и моноиды имеют особое значение в теории языков при обработке слов.

Пример 1.2. Пусть W (X ) — множество слов алфавита X . Определим на W (X ) операцию конкатенации ^ следующим образом: если α, β ∈ W (X ), то α^β = αβ, т. е результатом является слово, полученное соединением слов α и β (например. xyz ^zx = xyzzx ). Операция ^ ассоциативна, т. е. для любых слов α, β, γ верно (α^β)^γ = α^(β^γ).

Следовательно, система  W (X ), ^ является полугруппой. Так как для всех α ∈ W (X ) верно Λ^α = α^Λ = α, где Λ — пустое слово, то Λ удовлетворяет свойству единицы. Таким образом, система  W (X ), ^ является моноидом.

Моноид  =  A , · называется группой , если для любого элемента х ∈ А существует элемент  х ^–1 ∈ А , называемый обратным к х , такой, что х · х ^–1 = х ^–1 · х = е . Группа  называется коммутативной или абелевой , если  х · y = y · х для всех x , y ∈ А .