Задание множеств конституентами

Формула алгебры множеств, представляющая собой пересечение, в которое входят по одному разу все множества (со знаками дополнения или без дополнений) на данном универсуме, называется конституентой единицы . Формула, представляющая собой объединение, в которое входят по одному разу все множества (со знаками дополнения или без дополнений) на данном универсуме, называется конституентой нуля . Каждое множество, за исключением пустого, может быть задано объединением конституент единицы. Каждое множество, за исключением универсального, может быть задано пересечением конституент нуля. Рассмотрим задание множества путем указания его конституент единицы. Пусть на некотором универсуме рассматриваются два взаимно пересекающихся множества: А и В.

Зададим их графически с помощью диаграмм Эйлера (рис. 9).

Рис. 9. Диаграмма Эйлера для двух взаимно пересекающихся множеств А и В на универсуме I

Тогда каждый из четырех сегментов (четырех «кусочков») этой диаграммы может быть закодирован конституентой, содержащей символы А и В:

В таком случае заданное множество можно закодировать, двоичным кодом в соответствии с тем, входят ли в него указанные конституенты (табл. 4):

Таблица 4

Задание множества а двоичным числом

Множество А закодировано двоичным числом 1100. Этому двоичному числу соответствует десятичное число 12.

При таком задании множеств легко выполняются операции над ними. Например, получим пересечение множества № 12 и множества № 5. Результатом будет множество № 4. Действительно, результат пересечения — множество, в котором при его двоичном представлении имеются единицы в разрядах, соответствующих совпадениям единиц в исходных множествах (табл. 5).

Таблица 5

Пересечение множеств № 12 и № 5

Цит. по: Дискретная математика и математическая логика: учебник / Ю.А. Аляев, С.Ф. Тюрин. — М.: Финансы и статистика, 2006. — С. 26–37.

Тема 2. Булевы функции

Рассмотрим применение булевых алгебр для описания важного класса функций в дискретной математике.

Табличное задание булевых функций

Определение 6.1. Функцию вида

f : В^п → В

называют булевой функцией п переменных и пишут:

y = f (x ₁ , …, x_n ).

Булеву функцию можно задать разными способами, например с помощью табл. 6.1. Задание всевозможных булевых функций одной переменной приведено в табл. 6.2.

Так как всего разных векторов-значений у из нулей и единиц длины два равно 2² = 4, то всего разных булевых функций одной переменной будет четыре:

f ₁ ( x ) ≡   0, f ₂ ( x ) =  x ,  f ₄ ( x ) ≡   1.

Аналогично, различных булевых функций двух переменных будет всего  Для некоторых булевых функций двух переменных введены специальные обозначения, например (табл. 6.3 ):

Таблица 6.1

Задание булевой функции

Таблица 6.2

Задание булевых функций одной переменной

Таблица 6.3

Задание булевых функций двух переменных

Функцию f ₁ называют дизъюнкцией, f ₂ — конъюнкцией, f ₃ — сложением по модулю 2( mod 2), f ₄ — импликацией, f ₅ — эквивалентностью, f ₆ — штрихом Шеффера, f ₇ — стрелкой Пирса.