Кортеж. Декартово произведение

Пусть А и В — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах А и В — это любое множество {а , b }, где а ∈ А , b ∈ В или a   ∈  B , b   ∈  A .

Если А = В , то говорят о неупорядоченной паре на множестве А . Исходя из понятия равенства множеств , можно утверждать, что неупорядоченная пара {а , b } равна неупорядоченной паре {с , d } если и только если а = с и b = d или а = d и b = с . Заметим, что равенство элементов множества понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант.

В том случае, когда в неупорядоченной паре {а , b } элементы а и b совпадают, получаем, что {а , b } = {а , a }. Но такая запись, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и { a }. Таким образом, при а = b неупорядоченная пара {а , b } «вырождается» в одноэлементное множество {а }. При а   ≠ b неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством.

Упорядоченная пара на множествах А и В , обозначаемая записью ( a , b ), определяется не только самими элементами а ∈ А и b ∈ В , но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если А = В , то говорят об упорядоченной паре на множестве А.

Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар.

Определение 1.1. Две упорядоченные пары (а , b ) и (а ', b ') на множествах А и В называют равными , если а = a ' и b = b '.

Замечание 1.2. Упорядоченную пару (а , b ) не следует связывать с множеством {а , b }, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара (а , b ) есть неупорядоченная пара {{ a }){а , b }}, включающая в себя одноэлементное множество {а } и неупорядоченную пару {а , b }. При a = b получаем (а , а ) = {{а }}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.

Простейший и важнейший пример использования упорядоченных пар дает аналитическая геометрия. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная система координат , то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченной парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами (1, 3), совсем не то же самое, что точка с координатами (3, 1).

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный п-набор , или кортеж. В отличие от конечного множества { a ₁ , ..,  a_n } кортеж ( a ₁ , ...,  a_n ) на множествах A ₁ , ..., А_п характеризуется не только входящими в него элементами a ₁ ∈ А ₁ , ..., а_п ∈ А_п , но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.

Определение 1.2. Два кортежа ( a ₁ , ...,  a_n ) и ( b ₁ , ...,  b_n ) на множествах A ₁ , ..., А_п равны, если

Число n называется длиной кортежа (или размерностью кортежа) , а элемент a_i — i -й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 1.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают.

Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.

Определение 1.3. Множество всех кортежей длины п на множествах A ₁ , ..., А_п называют декартовым (прямым) произведением множеств A ₁ , ..., А_п и обозначают A ₁ × ... ×А_п .

Таким образом,

Если все множества  равны между собой, то указанное декартово произведение называют n -й декартовой степенью множества А и обозначают А^п . В частности, при п = 2 получаем декартов квадрат , а при п = 3 — декартов куб множества А.

По определению полагают, что первая декартова степень любого множества А есть само множество A , т. е. А ¹ = А. Декартово произведение имеет следующие свойства:

1)    А × ( B ∪ C ) = (А × В ) ∪ (А × С );

2)    А × (В ∩ С ) = (А × В ) ∩ (А × С );

3)    А × ∅ = ∅ × А = ∅.

Обратим внимание на последнее из записанных выше трех тождеств. Из него вытекает, что пустое множество при построении декартовых произведений множеств играет ту же роль, что и нуль при умножении чисел. Докажем справедливость этого тождества. В самом деле, множество ∅   ×   А (для любого A ) есть множество всех упорядоченных пар ( x , y ), таких, что х ∈ ∅ и y ∈ А. Но таких элементов х , что х ∈ ∅ , не существует, и, следовательно, упорядоченных пар ( x , y ), принадлежащих декартову произведению ∅   × А , не существует, т. е. ∅ × А = ∅ . Аналогично доказывается, что и А × ∅ = ∅ .