Группа подстановок Галуа

Рассмотрим знаменитую группу подстановок, которую исследовал выдающийся французский математик Э. Галуа (1811–1832).

Подстановкой n -й степени называется взаимно однозначное отображение множества из n элементов в себя.

Рассмотрим всего три элемента: х₁ , х₂ , х₃ .

Существует шесть вариантов последовательностей из трех элементов:

х₁ х₂ х₃ ,   х₂ х₃ х₁ ,   х₁ х₃ х₂ ,   х₃ х₁ х₂ ,   х₂ х₁ х₃ ,   х₃ х₂ х₁ .

Запишем порождение этих вариантов следующим образом:

Эта запись означает, что х₁ переходит (отображается) в х₂ , х₂ — в х₃ , х₃ — в x ₁ .

Число таких возможных подстановок равно числу вариантов последовательностей из трех элементов. Обозначим возможные подстановки:

Произведением подстановок назовем последовательное выполнение сначала первой, а затем второй из перемножаемых подстановок.

Например,

Таким образом, имеем алгебру <П, ¤>, где П — множество подстановок {а, b , с, d , e , f }, ¤ — бинарная операция П²  ↦ П.

Соответствующая таблица Кэли для алгебры постановок Галуа имеет вид табл. 3.

Таблица 3

Таблица Кэли для алгебры подстановок Галуа

В такой алгебре выполняется закон ассоциативности, но не выполняется закон коммутативности.

Нейтральным элементом является подстановка а.

Группа — это полугруппа взаимно однозначных преобразований, причем именно однозначность гарантирует наличие обратного преобразования. Можно сказать, что в группе при любом числе умножений не теряется информация об исходном элементе: если известно, на что умножали, всегда можно узнать, что умножали. Для полугруппы это верно не всегда. Пусть дана дискретная система с конечным числом состояний S = { S ₁ ..., S_n }, на вход которой может быть подано входное воздействие из множества х = {х₁ ,..., х _m }. Всякое входное воздействие однозначно переводит состояние системы в некоторое другое состояние, т. е. является преобразованием множества S . Последовательности воздействий — композиция преобразований, поэтому множество всех последовательностей — полугруппа с образующими {х₁ ,..., х _m }. Если такая полугруппа является группой, то по любой входной последовательности и заключительному состоянию системы можно однозначно определить ее начальное состояние.

Алгебра <М,   ·,   +>, которая по умножению (·) является мультипликативным группоидом, а по сложению (+) — абелевой группой, причем умножение связано со сложением законом дистрибутивности

называется кольцом. Например, числовыми кольцами являются множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел, множество комплексных чисел.

Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом (имеются обратные элементы по умножению). Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называется полем. Таковы поля Галуа.

Алгебра множеств (алгебра Кантора)

Алгебра Кантора: < B ( I ),  ∪ ,  ∩ , –>. Носителем ее является булеан универсального множества I , сигнатурой — операции объединения ∪ , пересечения ∩ и дополнения.

Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:

1)   коммутативности объединения и пересечения:

2)   ассоциативности объединения и пересечения:

3)   дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:

причем последнее соотношение не имеет аналога в обычной алгебре;

4) идемпотентности объединения и пересечения:

поэтому в алгебре Кантора нет ни степеней, ни коэффициентов;

5) де Моргана:

6) двойного дополнения:

Выполнимы также следующие действия с универсальным I и пустым ∅ множествами:

7 )

Все эти соотношения могут быть доказаны с использованием кругов Эйлера. Видна двойственность соотношений: они справедливы как относительно объединения, так и относительно пересечения.

Рассмотрим дополнительные законы:

8)   склеивания:

9)   поглощения:

10)   Порецкого — по фамилии российского логика, математика и астронома, профессора Казанского университета Платона Сергеевича Порецкого (1846–1907 гг.):

Алгебра Кантора по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой, так как для этих операций выполняются законы коммутативности и ассоциативности, но она не является группой, поскольку уравнения  не имеют решения, например, для случая, когда множества не пересекаются: . Поэтому алгебра Кантора по двухместным операциям ∩ и ∪ не является кольцом. Эта алгебра принадлежит к другому классу фундаментальных алгебр — к классу решеток.