Планарные графы

Неорграф G называется планарным , если его можно изобразить на плоскости так, что никакие два ребра не будут иметь общих точек, кроме, может быть, общего конца этих ребер. Такое изображение графа на плоскости называется плоским . Таким образом, если граф имеет плоское изображение, то он является планарным.

Пример 15.1. Граф К ₄ (рис. 4.48а) планарен, поскольку может быть изображен, как показано па рис. 4.48 б .

Рис. 4.48

Граф, описанный в примере 14.2 является планарным. Также планарным является граф, вершины которого — отверстия печатной платы, а ребра — проводники печатной платы, соединяющие отверстия.

Рассмотрим операцию подразбиения ребра в графе G =  М , R  . После подразбиения ребра [ a , b ] ∈ R получается граф G ' =  М ', R '  , где М ' = М ∪ [ a , b ], R ' = ( R {[ a , b ]) ∪ {[ a , ab ], [ ab , b ]}, т. е. ребро [ a , b ] заменяется на ( a , b )- цепь длины два. Два графа называются гомеоморфными , если их можно получить из одного графа с: помощью последовательности подразбиений ребер.

Не всякий неорграф является планарным. Критерий планарности описывает

Теорема 15.1 (теорема Понтрягина — Кураторского). Граф G планарен тогда и только тогда , когда G не содержит подграфа , гомеоморфного К ₅ или К _3,3 (рис. 4.49 ).

Эквивалентная форма критерия планарности описана в следующей теореме.

Теорема 15.2. Тогда и только тогда неорграф G планарен , когда G не содержит подграфов , стягиваемых (т . е . получаемых последовательностью отождествлений вершин , связанных ребрами) к графу К ₅ или К _3, 3 (рис. 4.49 ).

Рис. 4.49

Цит. по: Элементы дискретной математики: учебник / С.В. Судоплатов , Е.В. Овчинникова. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ , 2003. — С. 114–124 , 130–131 , 153–154. — (Серия «Высшее образование»).

Изоморфизм графов

Для ориентированного графа (V , Е ) множество Е дуг можно рассматривать как график бинарного отношения непосредственной достижимости , заданного на множестве вершин .

В неориентированном графе (V , Е ) множество Е ребер является множеством неупорядоченных пар. Для каждой неупорядоченной пары {u , v } ∈ Е можно считать, что вершины u и v связаны симметричным бинарным отношением ρ , т. е. {u , v } ∈ ρ и {v , u } ∈ ρ .

Таким образом, с каждым неориентированным и ориентированным графом связано бинарное отношение ρ . Это отношение будем называть отношением смежности .

С алгебраической точки зрения как ориентированный, так и неориентированный граф можно рассматривать как модель , сигнатура которой состоит из одного бинарного отношения :  В классической теории графов изучаются преимущественно конечные модели такого рода.

При указанном подходе различия между ориентированным и неориентированным графами проявляется только в свойствах отношения смежности ρ . Если это отношение симметрично , то граф называют неориентированным, и с этой точки зрения неориентированный граф можно считать частным случаем ориентированного.

Применяя к данному частному случаю моделей общие понятия гомоморфизма и изоморфизма …, мы можем сформулировать следующие определения.

Определение 5.14. Отображение h : V ₁ → V ₂ множества вершин графа G ₁ = (V ₁ , ρ ₁ ) в множество вершин графа G ₂ = (V ₂ , ρ ₂ ) называют гомоморфизмом графов (графа G ₁ в граф G ₂ ), если для любых двух вершин, смежных в первом графе, их образы при отображении h смежны во втором графе, т. е. если

Биективный гомоморфизм h , такой, что любые две вершины смежны в первом графе тогда и только тогда, когда их образы смежны во втором графе, т. е.

называют изоморфизмом графов G ₁ и G ₂ (графа G ₁ на граф G ₂ ), а графы G ₁ и G ₂ — изоморфными , что записывают в виде G ₁ ≅ G ₂ .

Гомоморфизм графов, который является эпиморфизмом , называется также гомоморфизмом одного графа на другой.

Возвращаясь к нашему определению графа посредством двух множеств: множества вершин V и множества ребер (дуг) Е , получим следующие варианты определений гомоморфизма и изоморфизма.

Гомоморфизм неориентированного графа G ₁ = (V ₁ , Е ₁ ) в неориентированный граф G ₂ = (V ₂ , Е ₂ ) есть такое отображение h : V ₁ → V ₂ , что для любых двух вершин первого графа, соединенных ребром, их образы при отображении h также соединены ребром, т. е.

Гомоморфизм ориентированного графа G ₁ = (V ₁ , Е ₁ ) в ориентированный граф G ₂ = (V ₂ , Е ₂ ) есть такое отображение h : V ₁ → V ₂ , что для любых двух вершин u , v первого графа, таких, что есть дуга, ведущая из u в v , из вершины h (u ) тоже ведет дуга в h (v ), т. е.

Изоморфизм неориентированного графа G ₁ на неориентированный граф G ₂ есть такая биекция h : V ₁ → V ₂ , при которой две вершины u и v графа G ₁ соединены ребром тогда и только тогда, когда соединены ребром их образы h (u ) и h (v ), т. е.

Аналогично изоморфизм ориентированного графа G ₁ на ориентированный граф G ₂ есть такая биекция h : V ₁ → V ₂ , при которой в ориентированном графе G ₁ из вершины u ведет дуга в вершину v тогда и только тогда, когда в ориентированном графе G ₂ из образа h (u ) вершины и ведет дуга в образ h (v ) вершины v , т. е.

Цит. по: Дискретная математика: учебник для вузов / А.И. Белоусов , С.Б. Ткачев; под ред. В.С. Зарубина , А.П. Крищенко. — 3-е изд. , стереотип. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана , 2004. — С. 341–343. — (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIX).

Говорят также: упорядоченная п-ка (например, упорядоченная тройка, четверка, пятерка и т. д.).

Нефедов В.Н. Курс дискретной математики / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова. — М: Издательство МАИ, 1992. — 264 с.

Нефедов В.Н. Курс дискретной математики / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова. — М: Издательство МАИ, 1992. — 264 с.

Непорожнев И.П. Элементы дискретной математики / Учеб.-метод. пособие. — Пермь: ПВВКИКУ, 1994. — 38 с.

Нефедов В.Н. Курс дискретной математики / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова. — М: Издательство МАИ, 1992. — 264 с.

При таком подходе в неориентированном графе могут быть петли , если отношение р содержит некоторые элементы диагонали , в частности является рефлексивным .