Расчет сетевого графика

Разберем подробно метод решения одной из задач теории графов. Рассмотрим сетевой график (см. рис. 4.7).

Определение 4.5. Сетевым графиком называется ориентированный граф Г   =    X , R  с неотрицательной числовой нагрузкой на каждой дуге ( x_i , x_j ) = u_ij ∈ R . Нагрузку на дуге обозначим T ( u_ij ) ≥ 0. Кроме того, в сетевом графике еще предполагаются три условия.

1. Во множестве вершин X имеются две вершины х ₀ и х _k , такие, что из вершины х ₀ дуги только выходят, а в вершину х _k дуги только входят. Вершина х ₀ называется начальной , а вершина х _k — конечной вершиной сетевого графика.

2. Для всякой промежуточной вершины х _i , т. е. не являющейся ни начальной, ни конечной, существуют два пути в сетевом графике от начальной вершины до рассматриваемой L (х ₀ , х _i ) и от рассматриваемой вершины до конечной L (х _i , х _k ).

3. В сетевом графике нет циклов.

Определение сетевого графика отражает тот факт, что сетевой график моделирует некоторый технологический процесс. Каждая дуга соответствует конкретной работе, а нагрузка дуги — времени, требуемому на выполнение такой работы. Начальная вершина дуги соответствует моменту начала работы, а конечная вершина — моменту завершения работы.

Пример 4 .6 . Рассмотрим сетевой график работ, приведенный на рис. 4.14. Изобразим его так, чтобы в каждой вершине графика можно было написать необходимые числовые показатели. Анализ технологического процесса предполагает построение его сетевого графика, т. е. модели процесса и расчет основных показателей такого графика.

Основные показатели сетевого графика.

Определение 4.6. Ранним временем наступления события х _i называется длина максимального пути L (х ₀ , х _i ) от начала всех работ до момента х _i . Длина пути | L (х ₀ , х _i )| определяется как сумма длин всех его дуг. Обозначим раннее время

Рис . 4 .14 . Сетевой график

По определению, t ( x ₀ ) = 0. Раннее время момента завершения всех работ t ( x_k ) = t * называется критическим временем сетевого графика, а путь L (х ₀ , х _k ) = L * , длина которого равна критическому времени, называется критическим путем сетевого графика.

Пример 4 .7 . В сетевом графике на рис.4.14 проведем расчет ранних времен всех вершин и занесем результаты расчета в левые четверти кружков, изображающих вершины. Так для вершин х ₄ , х ₅ , х ₆ будем иметь:

t ( x ₄ ) = max {17,26} = 26, t ( x ₅ ) = m ах{8,9} = 9, t ( x ₆ ) = m ах{28,37,14,15} = 37.

Чем ближе очередная вершина графика к конечной вершине, тем большее число путей от начала и длиннее каждый путь надо рассматривать. Этого можно избежать, если вести расчет ранних времен по формуле прямой волны:

t (x_i ) = max{t (x_m ) + T (u_mi )}.

В этой формуле рассматривается для всех соседних к x_i предшествующих вершин х_т наибольшая из сумм раннего времени вершины-соседки и длительности работы от нее до заданной вершины. Например, если уже известны ранние времена t ( x ₄ )= 26 и t ( x ₅ ) = 9 (см. рис. 4.14), то легко найти t ( x ₆ ) = max {(26 + 11), (9 + 6) = 37}. Расчет ранних времен ведется по этой формуле от начальной вершины к конечной подобно распространению прямой волны (см. рис. 4.14). В конце расчета получаем критическое время t * = t ( x ₆ ) = 37 и критический путь L *( x ₀ , x ₆ ) = { u ₀₂ , u _24, u ₄₆ } сетевого графика. Критический путь на рис. 4.14 выделим.

Определение 4.7. Поздним временем наступления события х _i называется разность критического времени t * сетевого графика и длины максимального пути L *( x_i , x_k ) от момента x_i до момента окончания всех работ. Обозначим позднее время

По определению имеем для конечной вершины

Так, для вершины х ₂ сетевого графика на рис. 4.14 получаем:

Таблица 4.1