Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества

Отношение Р называется отношением эквивалентности (эквивалентностью ), если Р рефлексивно, симметрично и транзитивно. Эквивалентности часто обозначают символами Е и ~ (тильда ): хЕу , х ~ у .

Пример 6.1. 1. Отношение равенства х = у является эквивалентностью на любом множестве А , так как оно рефлексивно (х = х ), симметрично (х = у ⇒ у = х ) и транзитивно (х = у , y = z ⇒ x = z ).

2.   Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности.

3.   На любом множестве Ƥ ( U ) отношение равно мощности |А |   =   | B | является отношением эквивалентности.

4.   Отношение принадлежности к одной студенческой группе на множество студентов НГТУ — отношение эквивалентности.

5.   Рассмотрим множество М программ, вычисляющих некоторые функции. Отношение Е = {(х ,у ) | программы x и у вычисляют одну и ту же функцию f является эквивалентностью.

Пусть Е — эквивалентность на множестве А . Классом эквивалентности элемента х ∈ А называется множество Е (х ) = {у | хЕу }. Классы эквивалентности Е будут также называться Е-классами . Множество A  /  E = {Е (х ) | х ∈ А } называется фактор-множеством множества А по отношению Е .

Пример 6.2. 1. Для отношения равенства = на множестве А каждый = класс состоит только из одного элемента: = ( x ) = { x } для любого х ∈ А . Таким образом, фактор-множество А  /= имеет вид {{х } | х ∈ А ] и, следовательно, биективно множеству А .

2. Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы. Фактор-множество множества студенток НГТУ по этому отношению эквивалентности представляет собой множество студенческих групп НГТУ.

Пример 6.4. Рассмотрим геометрическое векторное пространство E ₃ и множество направленных отрезков в нем. Направленные отрезки и  называются эквивалентными :  ~ , если они имеют одинаковые длину и направление. Отношение ~ — это отношение эквивалентности.

Вектором (геометрическим вектором .)   в Е ₃ называется класс эквивалентности направленных отрезков  для некоторого ). Фактор-множество множества направленных отрезков по отношению ~ образует множество векторов пространства Е ₃ .

Отношения порядка

Отношение эквивалентности является обобщением отношения равенства: эквивалентные элементы считаются «равными». Обобщением обычного отношения ≤ служат отношения порядка.

Отношение Р ⊆ А ² называется предпорядком или квазипорядком , если Р рефлексивно и транзитивно.

Пример 7.1. Отношение Р = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 3)} на множество {1, 2, 3} является предпорядком (рис. 1.11).

Рис. 1.11.

Отметим, что симметричный предпорядок является отношением эквивалентности.

Отношение Р ⊆ А² называется частичным порядком , если Р рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Таким образом, частичный порядок — это антисимметричный предпорядок. Частичный порядок  обычно обозначается символом ≤, а обратное ему отношение ≤^–1 — символом ≥. Отношение ≥ также является частичным порядком и называется двойственным порядку ≤. Используя отношение ≤, определим отношение <, называемое строгим порядком, по следующему правилу: х < у ⇔ х ≤ у и х ≠ у . Заметим, что отношение строгого порядка не является частичным порядком, так как не выполняется условие рефлексивности (неверно, что х < х ).

Пример 7.2. Частичным порядком является обычное отношение ≤ на множестве ℕ . Действительно, это отношение рефлексивно (х ≤ х ), транзитивно (х ≤ у, у ≤ z ⇒ х ≤ z ) и антисимметрично (х ≤ у, у ≤ x ⇒ х = y ).

Пример 7.3. Отношение, изображенное на рис. 1.12, является частичным порядком, а отношение из примера 7.1 — нет.

Рис. 1.12

Пример 7.4 . Отношение включения ⊆ на булеане Ƥ ( U ) образует частичный порядок.

Заметим, что в примерах 7.3 и 7.4 имеются элементы х и у , про которые нельзя сказать, что х ≤ у или у ≤ х (например, при а = х , у = с из примера 7.3). Такие элементы называются несравнимыми. Частичный порядок ≤⊆ А ² называется линейным порядком , если любые два элемента х и у из множества A сравнимы, т. е. х ≤ у или у ≤ х (линейным является частичный порядок из примера 7.2).

Непустое множество А , на котором зафиксирован некоторый частичный (линейный) порядок, называется частично (линейно ) упорядоченным множеством (сокращенно ч.у.м. или л.у.м.).

Пример 7.5. Пары  ω , ≤ ,  [0, 1], ≤ с обычными отношениями ≤ образуют линейно упорядоченные множества.

Пусть  А , ≤ — частично упорядоченное множество. Определим на множестве А ² отношение П условием ( a ₁ , b ₁ ) П ( a ₂ , b ₂ ) ⇔ a ₁ ≤ a ₂ и b ₁ ≤ b ₂ .Отношение П есть отношение частичного порядка. Оно называется отношением Парето. Пара  A ² ,   П  образует частично, по не линейно упорядоченное множество, если |А | > 1.

Элемент a ∈ А частично упорядоченного множества  =  А , ≤ называется максимальным (минимальным ), если для всех х ∈ А из a ≤ х (х ≤ a ) следует x = а . Элемент a ∈ А называется наибольшим (наименьшим), если х ≤ а ( a ≤ х ) для всех х ∈ А . Наибольший (наименьший) элемент ч.у.м.  (если он существует) обозначается через max  ( min ). Наибольший элемент часто называют единицей , а наименьший — нулем множества . Заметим, что всякий наибольший элемент является максимальным, а всяким наименьший элемент — минимальным. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Всякое конечное ч.у.м. содержит как максимальные, так и минимальные элементы.

Цит. по: Элементы дискретной математики: учебник / С.В. Судоплатов , Е.В. Овчинникова. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ, 2003. — С. 16–19, 34–38. — (Серия «Высшее образование»).