СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ПО КУРСУ:

«Дискретная математика»

МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ	1
Тема 1. Основные понятия теории множеств	1
Тема 2. Элементы комбинаторики	11
Тема 3. Отношения на множествах	25
Тема 4. Элементы теории графов	30
АЛГЕБРА И ТОПОЛОГИЯ	52
Тема 1. Элементы общей алгебры	52
Тема 2. Булевы функции	60
Тема 3. Алгебраические системы	65
Тема 4. Элементы общей топологии	67
АЛГЕБРА ЛОГИКИ	77
Тема 1. Алгебра логики высказываний	77
Тема 2. Логика предикатов	93
Тема 3. Элементы теории доказательств	101
Тема 4. Алгоритмы	110
КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ И РЕГУЛЯРНЫЕ ЯЗЫКИ	121
Тема 1. Синтаксис языков	121
Тема 2. Переключательные функции и способы их задания	129
Тема 3. Элементы теории конечных автоматов	149
Тема 4. Элементы теории кодирования	169

Множества и отношения Тема 1. Основные понятия теории множеств Множества и основные операции над ними

Понятия множества и элемента множества относятся к понятиям, не определимым явно, таким, как, например, точка и прямая. Это связано с тем, что некоторые понятия в математике должны быть исходными, служить теми «кирпичиками», из которых складывается общая теория. Мы определяем только, как соотносятся эти исходные понятия, не говоря о природе рассматриваемых объектов.

Под множеством М понимается совокупность некоторых объектов, которые будут называться элементами множества М . Тот факт, что х является элементом множества М , будем обозначать через х    М (читается « x принадлежит М »), а если х не является элементом множества M , то будем писать х     М (читается « x не принадлежит М »).

Заметим, что элементы множества сами могут являться множествами. Например, множество групп студентов состоит из элементов (групп), которые, в свою очередь, состоят из студентов.

Множество можно задать перечислением принадлежащих ему элементов или указанием свойств, которым элементы множества должны удовлетворять. Если x ₁ , x ₂ , …, x_n — все элементы множества М , то будем писать М = { x ₁ , x ₂ , …, x_n }. Пусть имеется свойство Р , которым могут обладать или не обладать элементы некоторого множества А . Тогда множество М , состоящее из всех элементов множества А , обладающих свойством Р , будет обозначаться через {х  А | х обладает свойством Р }, а также {х | х обладает свойством Р }, {х | Р {х )} или { x } _{P ( x )} , когда из контекста ясно, о каком множестве А идет речь.

Мы будем использовать следующие обозначения для числовых множеств: ℕ или ω — множество натуральных чисел, ℤ — множество целых чисел, ℚ — множество рациональных чисел, ℝ — множество вещественных чисел, ℂ — множество комплексных чисел.

Пример 1.1. Множество М арабских цифр можно задать двояко: перечислением М  =  {0, 1, 2, …, 9} или посредством свойства М = {х | х — арабская цифра}.

Пример 1.2. Множество нечетных чисел {±1, ±3, ±5, ...} можно определить как {х | х = 2k + 1 для некоторого k  Z }.

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается А  В ), если все элементы множества А принадлежат В :

А  В   x (x  A  x  B ).

Другими словами, это означает справедливость следующего утверждения: для любого элемента х , если x  A , то x  B . Если А  В , то будем также говорить, что множество А содержится в В , или имеется включение множества А в В . Множества А и В называются равными или совпадающими , (обозначается А = В ), если (они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если А  В и В  А . Таким образом, чтобы доказать равенство множеств, требуется остановить два включения.

Пример 1.3. Справедливы следующие включения: ℕ  ℤ , ℤ  ℚ , ℚ  ℝ , ℝ  ℂ .

Запись А  В или А ⊊ В означает, что А  В и А ≠ В (А не равно B ), и в этом случае будем говорить, что А строго включено в В , или является собственным подмножеством В . Так, включения из примера 1.3 являются строгими.

Заметим, что X  X ; если X  Y и Y  Z , то X  Z ; если X  Y и Y  X , то X = Y .

Не следует смешивать отношение принадлежности  и отношение включения  . Хотя 0  {0} и {0}  {{0}}, неверно, что 0  {{0}}, поскольку единственным элементом множества {{0}} является {0}.

Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множеством-степенью и обозначается через Ƥ ( A ) или 2^А . Таким образом, Ƥ ( A ) ⇌ {B | B ⊆ A }.

Мы будем предполагать, что существует множество, не содержащее ни одного элемента, которое называется пустым и обозначается через  . Ясно, что Ø ⊆ A для любого множества А .

Пример 1.5. Если А = {1, 2, 3}, то Ƥ ( A ) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A }.

Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается через U . Рассмотрим операции на булеане Ƥ ( U ) . Если А , В  Ƥ ( U ) , то пересечение А  В и объединение A  B множеств А и В определяются равенствами    

Пересечение множеств А и В называется также их произведением и обозначается А  В , а объединение — суммой : А + В . Множество  называется разностью множеств А и В , множество  — кольцевой суммой или симметрической разностью множеств А и В , множество   — дополнением множества А в U {см. рис. 1.1, на котором изображены так называемые диаграммы Эйлера -Венна , наглядно поясняющие соотношения между множествами).

Рис. 1.1

Основные свойства операций пересечения, объединения и дополнения:

1. Ассоциативность операций ∪ и ∩ :

A ∪ (В ∪ С ) = (A ∪ В ) ∪ С ,   A ∩ (В ∩ С ) = (А ∩ В ) ∩ С .

2. Коммутативность операции ∪ и ∩ :

A ∪ В = В ∪ A ,   A ∩ В = В ∩ A .

3. Законы идемпотентности :

A ∪ A = A ,   A ∩ A = A .

4. Законы дистрибутивности :

A ∪ (В ∩ С ) = (A ∪ В ) ∩ (A ∪ С ),

A ∩ (В ∪ С ) = (А ∩ В ) ∪ (A ∩ С ).

5. Законы поглощения :

A ∪ (A ∩ B ) = A ,   A ∩ (A ∪ B ) = A .

6. Законы де Моргана

.

7. Законы нуля и единицы : положим 0 ⇌ ∅ , 1 ⇌ U , тогда

A ∪ 0 = A ,   A ∩ 0 = 0,   A ∪ 1 = 1,   A ∩ 1 = A ,

.

8.  Закон двойного отрицания

.

Отметим, что операция выражается через операции ∩ и ¯. По закону де Моргана и закону двойного отрицания справедливо соотношение , т. е. операция ∪ также выражается через операции ∩ и ¯. По определению операция ⊕ тоже выражается через ∩ и ¯. Таким образом, любая из определенных операций над множествами выражается через операции ∩ и ¯.

Пересечение и объединение могут быть определены для любого множества множеств A_i , где индексы i пробегают множество I . Пересечение ∩ {A_i | i ∈ I } и объединение ∪ {A_i | i ∈ I } задаются равенствами

∩ {A_i | i ∈ I } ⇌ {x | x ∈ A_i для всех i ∈ I },

∪ {A_i | i ∈ I } ⇌ {x | x ∈ A_i для некоторого i ∈ I }.

Вместо ∩ {A_i | i ∈ I } и ∪ {A_i | i ∈ I } часто пишут соответственно    , а иногда просто, ∩ A_i , ∪ A_i если из контекста, ясно, какое множество I имеется в виду. Если I = {1, 2, …, n }, то используются записи

A ₁ ∩ A ₂ ∩ … ∩ A_n и A ₁ ∪ A ₂ ∪ … ∪ A_n , а также  и .

Множество {A_i | i ∈ I } непустых подмножеств множества А называется покрытием множества А , если . Покрытие называется разбиением , если A_i ∩ A_j ∅ при i = j . Другими словами, множество {A_i | i ∈ I } непустых подмножеств множества A является его разбиением, если каждый элемент х ∈ А принадлежит в точности одному из подмножеств А _i , каждое из которых не является пустым.

Предложение 1.1. Следующие условия эквивалентны :

1) А ⊆ В ;   2) А ∩ В = А ;   3) А ∪ В = В ;   4) A В = 0;   5) .

Доказательство. 1 ⇒ 2. Так как А ∩ В ⊆ А , то достаточно показать, что А ⊆ В   влечет А ⊆ A ∩ В . Но если x ∈ A , то по условию x ∈ B , и, следовательно, x ∈ А ∩ В .

2 ⇒ 3. Так как А ∩ В = A , то A ∪ B = (A ∩ B ) ∪ B ). По закону поглощения и закону коммутативности имеем (A ∩ B ) ∪ B ) = B . Тогда А ∪ В = В .

3 ⇒ 4. Предположим, что А ∪ В = В . Так как , то по закону де Моргана, закону ассоциативности, закону коммутативности и законам нуля и единицы имеем  

4 ⇒ 5. Предположим, что А В = ∅ , т. е. . Тогда . По закону де Моргана и закону двойного отрицания получаем .

5 ⇒ 1. Предположим, что  и не выполняется условие А ⊆ В , т. е. найдется элемент x такой, что x ∈ A и x ∉ B . Тогда  и, значит, , а это противоречит равенству .

Упорядоченную последовательность из n элементов x ₁ , x ₂ , …, x_n будем обозначать через (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) или  x ₁ , x ₂ , …, x_n  . Здесь круглые или угловые скобки используются для того, чтобы указать на порядок, в котором записаны элементы. Будем называть такую последовательность упорядоченным набором длины п , кортежем длины п или просто п -кой. Элемент x_i называется i - й координатой кортежа  x ₁ , x ₂ , …, x_n  . В теории множеств кортежи кодируются с помощью операции взятия множества по двум элементам в соответствии со следующими правилами:

 ⇌ ∅,    x ₁  ⇌ x ₁ ,    x ₁ , x ₂  ⇌ {{x ₁ }, {x ₁ , x ₂ }},    x ₁ , x ₂ , …, x_{n + 1}  ⇌  x ₁ , x ₂ , …, x_n  , x_{n + 1}  .

Заметим, что две n -ки  и  равны  тогда и только тогда, когда x ₁ = y ₁ , x ₂ = y ₂ , …, x_n = y_n .       

Пример 1.5. Пары (1, 2) и (2, 1) не совпадают, хотя множества {1, 2} и {2, 1} равны.

Декартовым (прямым ) произведением множеств A ₁ , A ₂ , …, А_п называется множество {(x ₁ , x ₂ , …, x_n ) | x ₁ ∈ A ₁ , x ₂ ∈ A ₂ , …, x_n ∈ A_n },  обозначаемое через A ₁ × A ₂ × … × А_п или . Если A ₁ = A ₂ = … = А_п = A то множество A ₁ × A ₂ × … × А_п называется n -й декартовой степенью множества А и обозначается Aⁿ . Положим по определению A ⁰ ⇌ {∅ }.

Пример 1.6. Пусть  А = {1, 2}, В = {3, 4}. Тогда А × В = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}, В × А = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)},  А × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Пример 1.7. (шахматная доска). Рассмотрим два множества А = {a , b , c , d , e , f , g , h } и B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Тогда множеству пар (x , y ) ∈ А × В соответствует множество клеток шахматной доски.

Пример 1.8. Множество [0, 1]² равно множеству {(а , b ) | 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1}, которому соответствует множество точек на плоскости, имеющих неотрицательные координаты, не превосходящие единицы (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Цит. по: Элементы дискретной математики: учебник / С.В. Судоплатов , Е.В. Овчинникова. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ , 2003. — С. 10–16. — (Серия «Высшее образование»).