§ 248. Работа и мощность переменного тока

Рассмотрим теперь, чему равна работа, совершаемая в цепи при наличии в ней переменного тока.

Положим сначала, что цепь имеет только активное сопротивле­ние. В этом случае вся ра­бота тока целиком превра­щается в тепло.

Пусть напряжение на концах цепи ( а и б рис. 462) есть

Так как в случае активного сопротивления сдвига фаз между током и напряже­нием нет, то сила тока из­меняется по закону

В течение малого проме­жутка времени переменный ток можно рассматривать как ток постоянный, и по­этому мгновенная мощность переменного тока

Изменение мгновенной мощ­ности с течением времени изображено на рис. 481, а. Обычно бывает необхо­димо знать не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за боль­шой период времени, охва­тывающий много периодов колебаний. Так как мы имеем дело с периодическим процессом, то для нахож­дения этого среднего зна­чения достаточно, очевид­но, вычислить среднее зна­чение мощности за один полный период. Работа переменного тока за малое время dt есть

Ряс. 481. Колебания мгновенной мощности переменного тока: а — цепь имеет чисто активное сопротивление, б—сдвиг фаз между током и напряжением =60°, в — случай чисто реактивного сопротивления.

557

а следовательно, работа А_T за время полного периода колеба­ний Т выражается формулой:

Но

Поэтому

Отсюда для средней мощности переменного тока получается выра­жение:

Так как U₀=ri₀, то можно также написать:

Обозначим через i_e и U_e силу и напряжение постоянного тока, который выделяет в сопротивлении r то же количество тепла, что и данный переменный ток. Тогда

(248.1)

Сравнивая эти выражения между собой и с выражениями для мощ­ности переменного тока, имеем:

(248.2)

Сила тока i_е называется эффективной силой переменного тока, a U_e — эффективным напряжением. Пользуясь эффективными зна­чениями, можно, следовательно, выразить среднюю мощность пере­менного тока теми же формулами (248.1), что и мощность постоянного тока.

Отметим, что силу тока и напряжение переменных токов в элек­тротехнике принято характеризовать их эффективными значениями. Точно так же все амперметры и вольтметры переменного тока обычно градуированы по эффективным значениям тока и напряжения.

Перейдем теперь к общему случаю, когда цепь содержит не только активные сопротивления, но и реактивные (емкости и индук­тивности, рис. 473). В этом случае между током и напряжением

558

существует разность фаз, что существенно меняет дело. Обра­тимся к рис. 481, б, где изображены кривые колебаний тока i и напряжения U при разности фаз =60°, а также кривая измене­ния мгновенной мощности P_t=iU. В течение времени от 0 до T/6 ток и напряжение имеют разные знаки и их произведение iU отрицательно. В последующий промежуток времени, от T/6 до T/2, i и U

имеют одинаковые знаки и мгновенная мощность положительна.

Начиная с момента T/2, мощность снова становится отрицательной,

и т. д. Мы имеем, следовательно, колебания мгновенной мощности с переменой знака.

Изменение знака мгновенной мощности имеет простой физиче­ский смысл. В § 138 мы видели, что, когда генератор посылает ток во внешнюю цепь, в его обмотке развиваются электродинами­ческие силы, тормозящие вращение ротора. Для преодоления этих сил двигатель, вращающий генератор, производит определенную работу, и именно за счет этой работы двигателя во внешней цепи совершается работа тока. Этот случай соответствует положитель­ной мгновенной мощности, и здесь мы имеем, следовательно, пере­дачу энергии от генератора во внешнюю цепь. Напротив, когда мгновенная мощность отрицательна, ток имеет противоположное направление, и электродинамические силы в генераторе способст­вуют вращению ротора. В эти промежутки времени мы могли бы отсоединить двигатель от генератора, причем вращение последнего поддерживалось бы самим током. При этом энергия из внешней цепи (запасенная в электрическом поле конденсатора и в магнит­ном поле катушек) переходит в генератор. Таким образом, перио­дическое изменение знака мгновенной мощности означает, что часть энергии колеблется между генератором и внешней цепью, а сле­довательно, среднее значение мощности в этом случае уменьшается.

Вычислим среднюю мощность переменного тока при наличии разности фаз. Работа, совершенная во внешней цепи за время dt,

Напряжение U согласно сказанному в § 245 (см. рис. 474) мы можем разложить на две составляющие: активную

колеблющуюся в фазе с током, и реактивную

Смещенную по фазе относительно тока на ±/2. Соответственно этому при вычислении работы за полный период Т получим тоже

559

два слагаемых. Одно из них, обусловленное реактивной составляю­щей напряжения, равно нулю, так как

Следовательно, полная работа за период определяется только актив­ной составляющей напряжения:

Поэтому средняя мощность есть

Вводя сюда эффективные значения i_е и U_e, находим окончательно:

(248.3)

Полученная формула отличается от (248.1) наличием дополнитель­ного множителя cos (который в электротехнике называют коэф­фициентом мощности). Она показывает, что в общем случае выде­ляемая в цепи мощность зависит не только от силы тока и напря­жения, но еще и от сдвига фаз между напряжением и током.

Если =90°, то cos=0 и средняя мощность равна нулю, как бы ни были велики ток и напряжение. В этом случае коли­чество энергии, передаваемое за четверть периода от генератора во внешнюю цепь, в точности равно энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор в течение следующей четверти периода, и вся энергия колеблется между генератором и внешней цепью (рис. 481, в).

Зависимость мощности от cos всегда учитывают при проекти­ровании линий электропередачи на переменном токе. Когда питае­мые нагрузки имеют большое реактивное сопротивление (например, моторы, обладающие большой индуктивностью), то 0 и cos может быть заметно меньше единицы. В этих случаях для передачи нужной мощности (при данном напряжении генератора) необхо­димо увеличивать силу тока i_e, а это либо приводит к возрастанию бесполезного тепла Ленца — Джоуля, выделяемого в линии, либо требует увеличения сечения проводов (а следовательно, и веса дорогостоящей меди), что повышает стоимость сооружения линии. Поэтому на практике всегда стремятся распределить нагрузки [лампы, моторы, печи и т. д.) таким образом, чтобы cos был по возможности близок к единице.

Формула (248.3) позволяет также полнее понять явление элек­трического резонанса (§ 246). Мы видели, что при вынужденных

560

электрических колебаниях сила тока и cos зависят от частоты генератора . При резонансе (=₀) сила тока достигает макси­мума, a cos имеет также наибольшее значение, равное единице. Следовательно, резонанс характеризуется еще и тем, что энергия, передаваемая в контур от генератора, имеет наибольшее значение,