§ 243. Емкость в цепи переменного тока

Положим теперь, что участок цепи содержит конденсатор емкости С, причем сопротивлением и индуктивностью участка можно пренебречь, и посмотрим, по какому закону будет изменяться напря­жение на концах участка в этом случае. Обозначим разность потен­циалов точек а и б (рис. 465) через U(U=U_a-U_б) и будем счи­тать заряд конденсатора q и силу тока i положительными, если они

соответствуют рис. 465. Тогда U=q/C. Но i=dq/dt, а следовательно,

Если сила тока в цепи изменяется по закону

(243.1) то

Постоянная интегрирования С в этой формуле обозначает про­извольный постоянный заряд конденсатора, не связанный с коле­баниями тока, и поэтому мы положим С=0. Следовательно,

(243.2)

Рис. 464. Векторная диа­грамма напряжения на сопротивлении.

541

Сравнивая (243.1) и (243.2), мы видим, что при синусоидальных колебаниях тока в цепи напряжение на конденсаторе изменяется также по закону синуса, однако между колебаниями тока и напря­жения имеется разность фаз. Колебания напряжения на конден­саторе отстают по фазе от колебаний тока на от/2. Изменение тока и напряжения во времени изображено графически на рис. 466.

Полученный результат имеет простой физический смысл. Напряжение на конден­саторе в какой-либо момент времени опре­деляется существующим зарядом конден­сатора. Но этот заряд был образован током, протекавшим предварительно в более ран­ней стадии колебаний. Поэтому и колеба­ния напряжения запаздывают относительно колебаний тока. Так, например, когда в момент времени t=0 сила тока равна нулю (рис. 466), то на конденсаторе еще имеется отрицательный заряд, перенесенный током в предыдущий период времени, и на­пряжение не равно нулю. Для обращения в нуль этого заряда нужно, чтобы некоторое время t₁ проходил ток положительного на­правления, и поэтому, когда заряд конденсатора (а значит, и напря­жение) станет равным нулю, сила тока уже не будет равна нулю.

Рис. 465. Конденсатор в цепи переменного тока.

Рис. 466. Колебания тока в цепи и напряжения на конденсаторе.

Формула (243.2) показывает, что амплитуда напряжения на кон­денсаторе равна

Сравнивая это выражение с законом Ома для участка цепи с посто­янным током (U=ir), мы видим, что величина

(243.3)

играет роль сопротивления участка цепи. Поэтому она получила название кажущегося сопротивления емкости.

542

Если в (243.3) выражать С в практических единицах, т. е. в фа­радах, а  — в сек^-1, то r_с получится также в практических еди­ницах, т. е. в омах. Так, например, для технического переменного тока, частота которого v равна 50 периодов в секунду, =100сек^-1. Если емкость конденсатора равна

1 мкф=10^-6 ф, то

Полученные результаты можно представить в виде векторной диаграммы рис. 467. Здесь вектор, изображающий колебания напря­жения, уже не совпадает с осью токов. Он повернут в отрицатель­ном направлении (по часовой стрелке) на угол /2. Длина этого вектора равна амплитуде напряжения i₀/C.

Формулу (243.3) легко проверить на опыте, если составить цепь, содержащую конденсатор переменной емкости и лам­почку накаливания (в качестве демонстра­ционного амперметра), и включить ее в осве­тительную сеть переменного тока. Тогда, изменяя величину емкости, можно убедить­ся, что чем больше емкость конденсатора,

тем сильнее ток в цепи (ярче накал лампочки), а следовательно, тем меньше сопротивление r_с.

Из формулы (243.3) видно, что сопротивление емкости r_с зави­сит также от частоты . Поэтому при очень высоких частотах даже малые емкости могут представлять совсем небольшое сопротивление для переменного тока. Этим объясняются многие весьма неожидан­ные на первый взгляд явления.

На рис. 468 изображена схема опыта, иллюстрирующего влияние малых емкостей при больших частотах. Экспериментатор стоит на изолирующей скамейке со стеклянными ножками и держит лампочку накаливания, касаясь рукой ее нарезного цоколя. Вторым контактом лампочки он касается одного из выводов высоковольтного источника переменного напряжения с частотой в несколько миллионов коле­баний в секунду; второй вывод источника заземлен (в качестве источника можно использовать, например, резонансный трансформа­тор, описанный в § 261). Мы имеем, следовательно, цепь, разомк­нутую для постоянного тока (она разрывается изолирующей ска­мейкой). Тем не менее в цепи проходит ток силой в несколько ампер и лампочка ярко накаливается. Это объясняется тем, что тело экспериментатора и земля образуют обкладки конденсатора, а конденсаторы, как мы видели, пропускают переменные токи. Поэтому цепь, разомкнутая для постоянного тока, оказывается замк­нутой для быстропеременного тока: токи проводимости в металли­ческих проводах замыкаются токами смещения (§ 151) внутри

Рис. 467. Векторная диа­грамма напряжения на конденсаторе.

543

конденсатора. Так как частота  очень велика, то уже при ничтож­ной емкости конденсатора (десятки сантиметров) сопротивление r_с становится настолько малым, что в цепи появляются сильные токи.

Рис. 468. Схема опыта для демонстрации токов смеще­ния при больших частотах.

Этот опыт хорошо демонстрирует также существование скин-эффекта или вытеснения переменных токов на поверхность провод­ника (§ 149). Через тело экспериментатора проходят токи силой в несколько ампер, которые в случае постоянного тока вызывали бы сильное физиологическое действие и были бы очень опасны для жизни. Однако в описанном опыте экспериментатор не ощущает эти токи, так как они протекают только в тонком поверхностном слое и не заходят вглубь тела.