§ 246. Резонанс напряжений

Положим, что в цепи, содержащей последовательно соединенные емкость С и индуктивность L и обладающей активным сопроти­влением r, действует переменная э. д. с, изменяющаяся по закону

Тогда согласно сказанному в § 245 в цепи будет протекать пере­менный ток

амплитуда которого i₀ связана с амплитудой э. д. с. ξ₀ законом Ома для переменного тока:

(246.1) Здесь R есть полное сопротивление цепи

(246.2)

а фазовый угол  на который колебания тока отстают от колеба­ний напряжения, определяется формулой:

(246.3)

Допустим теперь, что мы изменяем частоту колебаний . Как показывают формулы (246.1) — (246.3), это вызовет изменение и амплитуды тока i₀, и сдвига фазы .

Остановимся сначала на изменениях амплитуды тока. Если =0,

то 1/C=. При этом полное сопротивление R обращается в беско­нечность, а i₀ равно нулю. Это и понятно, так как при =0 мы имеем постоянный ток, а постоянный ток не проходит через кон­денсатор. При увеличении  квадрат реактивного сопротивления

(L-1/C)² сначала уменьшается. Поэтому и полное сопротивле­ние R уменьшается, а i₀ увеличивается. При частоте =₀, опре­деляемой условием

(246.4)

реактивное сопротивление (L-1/C) обращается в нуль, а полное

сопротивление цепи R становится наименьшим, равным активному сопротивлению цепи:

550

Сила тока достигает при этом максимума. При >₀ квадрат реактивного сопротивления (L-1/C)² снова не равен нулю и увеличивается с возрастанием . В соответствии с этим полное сопро­тивление R увеличивается, а амплитуда тока i₀ уменьшается, асимпто­тически приближаясь к нулю при увеличении .

Зависимость i₀ от , выражаемая формулами (246.1) и (246.2), графически изображена на рис. 475, где показаны три кривые, соответствующие трем различным значениям активного сопротивле­ния r. Чем меньше r (т. е. чем меньше декремент затухания  или чем больше добротность контура Q), тем больше при прочих равных условиях i₀ и тем острее максимумы кривых. Обратимся теперь к раз­ности фаз  между током и э. д. с. Из (246.3) видно, что при очень малых частотах,

когда L<<1C, tg очень велик и отрицателен; а сле­довательно, -/2. В этом

. случае ток опережает напря­жение и цепь имеет емкост­ный характер. При возрастании частоты со реактивное сопротивле­ние (L-1/C), оставаясь отрицательным, уменьшается по абсолют­ному значению и разность фаз  уменьшается. Когда =₀, формула (246.3) дает tg=0, а значит, =0. При дальнейшем уве­личении  реактивное сопротивление (L-1/C)>0 и увеличивается с возрастанием . Поэтому 0<tg<+ и 0<<+/2.

Следовательно, при >₀ ток отстает от напряжения и цепь приобретает индуктивный характер, причем угол  асимптоти­чески . стремится к предельному значению +/2 при увеличении частоты .

Зависимость разности фаз  от частоты колебаний изображена -графически на рис. 476. Так же как и i₀,  зависит еще от актив­ного сопротивления контура r. Чем меньше r, тем быстрее изме­няется  вблизи =₀, и в предельном случае r=0 изменение фазы приобретает скачкообразный характер.

Резюмируя сказанное, мы видим, что особый интерес пред­ставляет случай, когда частота э. д. с. генератора (или прило­женного внешнего напряжения)  равна частоте ₀. При этом

Рис. 475. Резонансные кривые.

551

амплитуда тока достигает максимального значения, а разность фаз между током и напряжением равна нулю или, иными слова­ми, контур действует как чисто активное сопротивление. Этот важный случай вынужденных колебаний называется резонансом напряжений.

Отметим, что частота ₀, при которой наступает резонанс, не равна частоте собственных колебаний контура (²₀-²) (формула (234.3)). Однако в подавляющем большинстве практических случаев ²<<²₀ и потому с большим при­ближением этим различием можно пренебречь.

Выше мы предполагали, что изменяется частота э. д. с. , а па­раметры контура остаются неизмен­ными. Однако ясно, что для полу­чения резонанса можно поступать и иначе: изменять у контура индук­тивность или емкость (т. е. изме­нять ₀), оставляя частоту  по­стоянной.

На рис. 477 показана схема Опыта для наблюдения резонанса с техническим переменным током. Цепь содержит переменную индуктивность L (изменяемую железным сердечником, вдвигаемым в катушку), постоянную емкость С и лампы накаливания R для суждения о силе тока. При опреде­ленном положении железного сердечника, соответствующем резо­нансу (=₀), лампы ярко накаливаются, в то время как при большей или меньшей индуктивности («расстройке» цепи) накал ламп очень слаб.

Найдем теперь, чему равны амплитуды напряжения на конден­саторе и на катушке индуктивности при резонансе. Амплитуда тока при резонансе достигает максимума:

Поэтому амплитуда напряжения на конденсаторе

Полученное выражение можно преобразовать иначе. Учитывая (246.4), имеем;

Рис. 476. Изменение сдвига фазы колебаний тока при изменении частоты внешнего напряжения.

552

Но r/2L есть коэффициент затухания  (§ 234), a 2(LC)—период

колебания Т, соответствующий резонансу, а значит, знаменатель написанной формулы есть логарифмический декремент затухания =Т. Поэтому (формула (234.6))

где Q — добротность контура. Следовательно,

(246.5)

Аналогично амплитуда напряжения на индуктивности есть

(246.6)

Таким образом, колебания напряжения на конденсаторе и на индуктивности при резонансе имеют одинаковые амплитуды. Однако

Рис. 477. Схема для наблюдения резонанса в цепи технического переменного тока.

Рис. 478. Векторная диаграмма напряже­ний при резонансе.

одно из них (U_C) отстает от колебаний тока на /2, а другое (U_L) опережает их на /2, так что оба колебания имеют разность фаз . Поэтому их сумма равна нулю, и остаются только колебания напря­жения на активном сопротивлении. Соотношение между тремя коле­баниями напряжения U_r, U_C и U_L при резонансе изображено при помощи векторной диаграммы на рис. 478. Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то амплитуды напряжения U_0C и U_0L больше амплитуды напряжения на концах всей цепи.

Соотношение между напряжениями на отдельных участках цепи можно исследовать в указанном выше опыте (рис. 477), если к уча­сткам цепи присоединить вольтметры с большим внутренним сопро­тивлением. В отсутствии резонанса напряжение на активном сопро-

553

тивлении (показание вольтметра В₁) меньше напряжения сети (вольтметр B₄), так как часть напряжения падает на реактивном сопротивлении цепи. Однако вследствие наличия разности фаз ариф­метическая сумма показаний вольтметров В₁, В₂ и В₃ значительно больше показания B₄. При резонансе показания В₁ становятся почти равными показаниям B₄ (так как активное сопротивление катушки L мало). Показания В₃ и В₄ также равны друг другу, но каждый из этих вольтметров обнаруживает напряжение, в несколько раз большее, нежели напряжение сети. Отметим, что добротность колебательных кон­туров на радиочастотах может дости­гать нескольких сотен, и поэтому U_0C и U_0L могут быть в сотни раз больше амплитуды э. д. с., вызывающей вынуж­денные колебания.

Резонанс напряжений широко при­меняют в радиотехнике и используют в тех случаях, когда нужно усилить колебания напряжения какой-либо определенной частоты. В качестве при­мера укажем на устройство входной части радиоприемника (рис. 479). В ней имеется колебательный кон­тур LC с высокой добротностью, а напряжение с конденсатора контура подается на вход первой лампы усилителя. Приходящие радиоси­гналы вызывают в антенне быстропеременный ток, который наводит в катушке L э. д. с. взаимной индукции с некоторой амплитудой ξ₀. Вследствие резонанса на конденсаторе, а значит, и на входе лампы возникает напряжение с амплитудой ξ₀Q, которая значительно больше амплитуды э. д. с. ξ₀. Это усиление напряжения имеет место только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты контура ₀, что позволяет выделить из многих сигналов различных радиостанций только одно колебание определенной частоты («настроиться» на определенную станцию).

Рис. 479. Входной контур ра­диоприемника (схематически).