§ 245. Закон Ома для переменных токов

Пользуясь результатами, найденными в §§ 242—244, можно найти соотношение между колебаниями тока и напряжения в любой цепи.

Рассмотрим сначала последовательное соединение сопротивления, емкости и индуктивности (рис. 473). Положим попрежнему, что ток в цепи изменяется по закону

(245.1)

и вычислим напряжение между концами цепи. Так как при после­довательном соединении проводников складываются напряжения, то

искомое напряжение U есть сумма трех напряжений: на сопротивлении, на емкости и на индуктивности, причем каждое из этих напряжений, как мы видели в §§ 242—244, изме­няется во времени по закону синуса. Для сложения этих трех гармони­ческих колебаний мы воспользуемся векторной диаграммой напряжений (рис. 474). Колебания напряжения на сопротивлении изображаются на ней вектором U_a, направленным вдоль оси токов и имеющим длину U_a=i₀r, коле­бания же напряжения на индуктивности и емкости— векторами, пер­пендикулярными к оси токов, с длинами i₀L и i₀(1/C). Складывая

два последних колебания, мы получим одно гармоническое колеба­ние, изображаемое вектором U_p, перпендикулярным к оси токов и имеющим длину

Таким образом, полное напряжение между концами цепи а и б можно рассматривать как сумму двух гармонических колебаний: -напряжения U_a, совпадающего по фазе с током, и напряжения U_p, отличающегося по фазе на /2. Первое из них (U_a) получило назва­ние активной составляющей напряжения, а второе (U_p) — реактив­ной составляющей. Оба эти колебания, складываясь, дают также гармоническое колебание:

(245.2)

Рис.473. Последовательное со­единение сопротивления, емко­сти и индуктивности.

547

Согласно сказанному в § 142 оно изображается векторной суммой векторов U_a и U_p, причем длина результирующего вектора равна амплитуде напряжения U₀, а угол, образованный результирующим вектором с осью токов, — начальной фазе . Применяя к треуголь­нику напряжений на рис. 474 теорему Пифагора, мы получаем:

(245.3)

Далее, из рис. 474 видно, что

(245.4)

Формула (245.3) имеет сходство с за­коном Ома в том смысле, что амплитуда напряжения U₀ пропорциональна ампли­туде тока i₀. Поэтому формулу (245.3) иногда называют законом Ома для пере­менного тока. Однако нужно помнить, что эта формула относится только к амплитудам, но не к мгновенным значениям U и i.

В случае постоянного тока отношение напряжения к силе тока называют сопротивлением проводника. Подобно этому при перемен­ном токе отношение амплитуды полного напряжения к амплитуде тока

(245.5)

называют полным сопротивлением цепи для переменного тока.

Аналогично отношение амплитуды активной составляющей напря­жения U_a к амплитуде тока i₀, т. е.

называется активным сопротивлением цепи. Оно равно сопротив­лению цепи для постоянного тока. Активное сопротивление обусло­влено трением электронов в проводниках и его наличие всегда сопровождается выделением тепла Ленца—Джоуля.

Отношение же амплитуды реактивной составляющей напряже­ния U_p к i₀, т. е.

есть реактивное сопротивление цепи. Оно равно разности кажу­щихся сопротивлений индуктивности и емкости. Наличие реактив-

Рис. 474. Векторная диа­грамма напряжений для цепи рис. 473.

548

ного сопротивления не сопровождается выделением тепла (ср. § 248). Из (245.5) видно, что активное и реактивное сопротивления цепи складываются геометрически.

Во всех приведенных выше рассуждениях мы рассматривали участок цепи и понимали под U напряжение, приложенное к кон­цам участка а и б (рис. 473). Однако все полученные формулы можно применять и к замкнутой цепи (аrСLбГа, рис. 473), вклю­чающей в себя генератор. Действительно, для всех наших рассуж­дений было безразлично, в каком именно месте цепи сосредоточены емкость, индуктивность и сопротивление. Поэтому в замкнутой цепи рис. 473 мы можем считать, что r представляет собой полное актив­ное сопротивление цепи, включая и внутреннее сопротивление гене­ратора, а С и L — полные емкость и индуктивность цепи, и заме­нить реальный генератор воображаемым, у которого внутреннее сопротивление равно нулю. При этом напряжение U между точками а и б будет равно э. д. с. генератора ξ. Отсюда следует, что выведенные формулы (245.1) — (245.5) справедливы и для замкну­той цепи переменного тока, если под r, С и L понимать их зна­чения для всей цепи и заменить во всех формулах U на э. д. с. генератора ξ.

Рассмотрим примеры применения выведенных формул.

Пример 1. Цепь имеет активное сопротивление r=2000 ом и содер­жит конденсатор с емкостью С = 1 мкф и катушку с индуктивностью L=3 гн. Найти полное сопротивление цепи для технического переменного тока и сдвиг фаз между током и напряжением.

Для технического переменного тока (=100) сопротивление емкости

1/C =1/(100•10^-6)3000 ом, а сопротивление индуктивности есть L=100X31000 ом. Следовательно, реактивное сопротивление цепи равно y=1000-3000=-2000 ом, а полное сопротивление R=((2000)²+(2000)²) =2830 ом. Согласно (245.4) tg=y/r=-1, а следовательно, =-45°. Так

как для угла  в формуле (245.2) получилось отрицательное значение, то это значит, что напряжение отстает по фазе от тока на угол 45°.

Пример 2. Цепь содержит катушку с индуктивностью L=0,1 гн и имеет активное сопротивление r=60 ом. Частота переменного тока равна 50 периодов в секунду.

Так как конденсатора в цепи нет, то в предыдущих формулах нужно положить С = (но не С=0). Это, может быть, требует специального пояснения. Действие конденсатора в цепи заключается в том, что при про­хождении по цепи заряда q на конденсаторе появляется напряжение U=q/C.

Если вместо конденсатора имеется неразорванный провод, то при любом q напряжение U=0, а это соответствует С=.

Реактивное сопротивление нашей цепи равно y=L=100••0,1=10 ом. Следовательно, полное сопротивление есть R=((60)²+(10)²)=67 ом. Далее, по формуле (245.6) находим: tg=y/r=10/601/2. Это дает:

=+26°30'. В данном случае угол  положителен, а значит, напряжение опережает ток,

549