4. Екі материалдық нүктенің ауырлық центрі.
Массамен
қамтамасыз етілген нүкте материалдық
нүкте деп аталады. Көрнекті түрде
материалдық нүктені мөлшерін ескермеуге
болатын кішкене ауыр шарик түрінде
елестетуге болады. Егер
нүктесінде
массасы орналасқан материалдық нүктені
түрінде белгіленеді.
және
материалдық нүктелерінің ауырлық центрі
деп
кесіндісінде жатып, «рычаг ережесін»
қанағаттандыратын
нүктесін айтады:
қашықтығын
нүктесінің массасы
ға көбейтіндісі
қашықтығының
нүктесінің массасы
ға
көбейтіндісіне тең. Сонымен,
Бұл теңдікті былай да жазуға болады:
,
яғни, екі нүктенің ауырлық центрінен осы нүктелерге дейінгі қашықтықтардың қатынасы олардың массаларының қатынасына кері пропорционал болады. және материалдық нүктелерінің ауырлық центрі нүктесі болады дегенді былай белгілейді:
.
Ауырлық центрі массасы үлкен нүктеге жақын орналасады. Анықтамадан егер түзу екі нүктенің ауырлық центрі мен осы нүктелердің біреуі арқылы өтсе, онда ол екінші нүкте арқылы да өтеді.
Екі
нүктенің ауырлық центрінің механикалық
мағынасы өте қарапайым. Екі ұшына
және
масса орналастырылған «салмақсыз»
стерженін
елестетейік.
және
материалдық нүктелерінің ауырлық центрі
деп, осы нүктеден тіреу қойғанда, ол
тепе тең қалыпта болатын
нүктесін айтады.
11-сурет
Екі материалдық нүктенің бірігуі немесе тең әсердесуі деген ұғымдарды қолданамыз. Бұл ұғымдар ретінде екі материалдық нүктенің ауырлық центріне олардың массаларының қосындысын орналастыруды айтады.
Мысалы,
ұзындығы 20 см. болатын
стерженінің ұштары
нүктесіне 6 бірлік,
нүктесіне
6 бірлік массалар орналастырылсын.
және
нүктелерінің ауырлық центрі
мына шартты қанағаттандырады:
немесе
.
Сонымен қатар
болғандықтан
болады.
Бұдан
(бірлік).
12-сурет
және
материалдық нүктелерінің бірігуі
материалдық нүктесі болады.
Үш материалдық нүктенің ауырлық центрі былайша тізбектей табылады: алдымен кез келген екі нүктенің ауырлық центрін тауып, осы нүкте мен үшінші нүктенің ауырлық центрін табады. Дәл осылайша төрт, бес т.с.с. нүктелердің ауырлық центрін табады.
Мысалы,
,
,
,
нүктелерінің ауырлық центрін табу
керек.
13-сурет
және
нүктелерінің ауырлық центрі
нүктесі болады. Енді
,
,
үш нүктенің ауырлық центрін жоғарыдағыдай
табамыз. Сонда
нүктесі шығады.
Енді осы айтылғандарды геометриялық есептерді шешуде қолданайық.
Мысал-1. Кез келген төртбұрыштың орта сызығы деп оның қарама-қарсы қабырғаларының ортасын қосатын кесіндіні айтады.
14-сурет
Мына теореманы дәлелдейік. Кез келген төртбұрыштың орта сызықтары мен диагональдарының ортасын қосатын кесінді бір нүкте арқылы өтеді және осы нүктеде қақ бөлінеді.
Дәлелдеуі.
төртбұрышының әр төбесіне бір бірліктен
масса орналастырайық. Осы төрт материалдық
нүктенің ауырлық центрін
деп белгілейік.
және
нүктелеріндегі массаны олардың ауырлық
центрі
нүктесіне, ал
және
нүктелеріндегі массаны олардың ауырлық
центрі
нүктесіне орналастырсақ, одан жүйенің
ауырлық центрінің орны өзгермейді.
және
нүктелерінде
массалар тең болғандықтан,
және
нүктелерінің ауырлық центрі
кесіндісінің
ортасы
нүктесі болады да оны қақ бөледі. Дәл
осылайша
нүктесі
және
кесінділерінде жатып, оларды қақ
бөлетінін көрсетеміз. Сонымен,
,
,
кесінділері ортақ
нүктесі арқылы өтіп, осы нүктеде қақ
бөлінеді. Теорема дәлелденді.
Мысал-2. Геометриядан белгілі мына теореманы дәлелдейік. Кез келген үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қилысады және қилысу нүктесінде төбесінен есептегенде 2:1 қатысында бөлінеді.
15-сурет
Дәлелдеуі.
үшбұрышының әр төбесіне бір бірлік
массадан орналастырайық
(сурет15 ).
нүктесі берілген жүйенің ауырлық центрі
болсын.
кесіндісі үшбұрыштың бір медианасы.
және
материалдық нүктелерінің массаларын
кесіндісінің ортасы болатын
нүктесіне шоғырландырайық. Сонда барлық
жүйе
және
нүктелерінен тұрады. Жүйенің ауырлық
центрі
нүктесі
кесіндісінде жатады. Дәл осылайша
нүктесі
және
медианаларында жататынын көрсетуге
болады. Сонымен, үшбұрыштың барлық
медианасы бір нүкте арқылы өтеді. Рычаг
ережесі бойынша
,
яғни
.
Теорема дәлелденді.
Мысал-3.
үшбұрышының
,
,
қабырғаларынан сәйкес
,
,
нүктелері
,
,
теңдіктері орындалатындай етіп алынған.
,
,
нүктелерін қарама-қарсы
,
,
нүктелерімен қосатын түзулер берілген
үшбұрышты жеті бөлікке бөледі. 16 –
суреттегі штрихталған үшбұрыштың ауданы
үшбұрышының ауданынан жеті есе кіші
екенін дәлелдеу керек.
16-сурет
Дәлелдеуі.
болатынын 16- суреттен көруге болады.
Егер екі үшбұрыштың биіктіктері бірдей
болса, онда олардың аудандарының қатынасы
сәйкес табандарының ұатынасына тең
болатыны белгілі, яғни
.
нүктесі
үш материалдық нүктенің ауырлық центрі
болатындай етіп,
үшбұрышының төбелеріне массалар
орналастырайық. Ол үшін
,
,
төбелеріне сәйкес 1, 2, 4 бірлік масса
орналастыру жеткілікті.
және
материалдық нүктелерін олардың бірігуі
болатын
нүктесімен алмастырамыз. Сонда
нүктесі
және
материалдық нүктелерінің ауырлық центрі
болады. Рычаг ережесі бойынша
болады. Бұдан
және
.
Сонымен,
.
Дәл
осылайша
болатынын көрсете аламыз. Сондықтан
.