3. Потенциалдық энергияның минимумдық принципі.
Жүк
қандай да бір биіктіктен төмен қарай
құлағанда белгілі бір мөлшерде жұмыс
атқарады, яғни потенциалдық энергиясы
болады. Мектептің физика курсынан
салмағы
болатын
жүк
биіктікте болса, оның потенциалдық
энергиясы
көбейтіндісімен анықталады. Бұл
формуладан
биіктіктің шамасы неғұрлым аз болса,
потенциалдық энергия соғұрлым аз болады.
Жүктің өзінің ең төменгі қалпында болуға
ұмтылуы потенциалдық энергияның азаюына
тікелей байланысты. Егер жүкті жіпке
іліп қойса, онда оның ең төменгі қалпында
потенциалдық энергия минимальды болады.
Сондықтан жанама туралы теоремаларды
дәлелдегенде қолданылған (А) тұжырымы
мына тұжырымдармен тең мағыналы болады:
(U) Тепе тең қалыпты жағдайда жүктің потенциалдық энергиясы ең кіші мәнге ие болады.
(D1) Егер қандай да бір жағдайда жүктің потенциалдық энергиясы ең кіші мәнге ие болса, онда бұл жағдай жүктің тепе тең қалыпты жағдайы болады.
(D1) тұжырымы потенциалдық энергияның минимумы немесе Дирхле принципі деп аталатын механиканың жалпы принципінің дербес жағдайы болып табылады. Дирихле принципі былай айтылады:
Жүйенің потенциалдық энергиясы ең кіші мәнге ие болатын қалпы оның тепе тең қалпы болады.
Егер жүйенің тепе тең қалпы жалғыз болса, онда Дирихле принципінен мынандай маңызды салдар шығады:
Тепе теңдік қалпында жүйенің потенциалдық энергиясы ең кіші мәнге ие болады.
Алдағы уақытта біз бір ғана тепе тең қалпы болатын жағдайды қарастырамыз. Басқа да жағдайлар болуы мүмкін, мысалы, 10 – суретте шардың төрт тепе теңдік қалпы көрсетілген.
10-сурет
Әрине, жанама туралы есепті шешкенде потенциалдық энергияның минимумдық принципіне жүгінудің қажеті жоқ, барлық мүмкін жағдайлардың ішінде жүктің ең төменгі қалпы тепе теңдік қалпы екені айқын. Бірақ, жүйеде бір емес өзара байланысты бірнеше жүкті қарастырсақ, жүктің әрқайсысы мүмкін жағдайлардың ішінде ең төменгі жағдайда тепе теңдік қалыпта болады деген тұжырым дұрыс болмайды. Мұндай жағдайда барлық жүктің тепе теңдік жағдайын табу керек, ал ол үшін потенциалдық энергия ұғымын пайдалану өте тиімді.
Мынандай мысал қарастырайық. Үш ауылға ортақ бір мектеп салу қажет. Бірінші ауылда 50, екінші ауылда 70, үшінші ауылда 90 оқушы бар. Барлық балалардың мектепке келу уақытының қосындысы минимальды болатындай етіп, мектептің орнын қалай таңдап алу керек?
Бұл есепті шешу үшін стрлдың үстіне жергілікті жердің жоспарын жасау керек. Сонан соң столда ауылдардың орналасқан жерінен тесіктер жасаймыз да, бір түйіншекке байланған үш жіпті осы саңылаулардан өткіземіз. Жіптің екінші ұшына салмақтары 50, 70, 90 бірлікке сәйкес келетін жүк (мысалы, 500гр.,700гр.,900гр.) ілеміз. Түйіншек қай жерде болса, мектеп сол жерге салынуы тиіс. Неге?
Осы
сұраққа жауап беру үшін үш жүктен тұратын
жүйенің потенциалдық энергиясын
есептейміз. Егер жүктердің салмақтары
сәйкес
,
,
,
ал бірінші жүк
,
екіншісі
,
үшіншісі
биіктікте болса, онда жүйенің потенциалдық
энергиясы әрбір жүктің потенциалдық
энергияларының қосындысына тең болады:
(1)
Енді
түйіншектен ауылдарға дейінгі қашықтық
сәйкес
,
,
,
жіптердің ұзындықтары сәйкес
,
,
және столдың биіктігі
болсын.
Түйіншек қай нүктеде болса да және
жүктер кез келген
,
,
биіктікте болса да мына арақатынас
орындалады.
;
;
немесе
;
;
Сонда (1) теңдікті былай жазуға болады:
,
мұндағы
Жүктердің орнына тәуелсіз болатын тұрақты шама.
Потенциалдық
энергияның миниумдық принципіне
байланысты егер
ең аз мән қабылдаса, онда жүйе тепе
теңдік қалыпта болады. Бұдан тепе теңдік
қалыптың жалғыздығына байланысты тепе
теңдік жағдайында
-
нің мәні минимальды болатыны шығады.
Егер
шамасы минимальды болса, онда
шамасы
да минимальды болады. Бұл теңдіктегі
балалардың өз ауылдарынан түйіншек
тұрған жерге салынған мектепке дейін
жүруге кететін уақыттарының қосындысы.
Сонда түйіншектің орны осы жүйенің тепе
тең қалпын анықтайды. Осы уақыттардың
қосындысы шынында да өзінің ең кіші
мәніне ие болады.