1.5. Алгоритмы, использованные для решения задачи оптимизации проекта по стоимости

1.5.1. Общие принципы решения задачи

Принцип решения задач оптимизации, описываемой выражениями (1.3) и (1.4) основано на алгоритме Келли.

Можно утверждать, что минимизация функции (1.3) аналогична максимизации функции вида

. (1.5)

Если представить, что некоторое число X_ij равно потоку жидкости через дугу (i,j) за время t_ij, то a_ij в этом случае будет являться пропускной способностью дуги (i,j). Тогда минимизация (1.3) сводится к поиску максимального потока, протекающего через сеть.

Задача о максимальном потоке

Сеть состоит из узлов 0..n и дуг. По путям, образованным последовательностями дуг, направляется жидкость из узла 0 в узел n . Каждая дуга имеет пропускную способность c_ij (пропускная способность — это максимальное количество жидкости, которое может пропустить дуга за единицу времени).

Считается, что в нулевую вершину не входит ни одна дуга, и из конечной вершины ни одна дуга не выходит. Для всех остальных точек рассматриваются пути (i,j), обладающие некоторой пропускной способностью (i≠j), и симметричные им дуги (j,i). Рассматриваемая сеть считается симметричным графом.

Если поток жидкости через дугу (i,j) в единицу времени обозначить как x_ij, то ограничения, накладываемые на величину потока, будут иметь вид:

0≤x_ij≤c_ij (1.6)

, j=1..n-1 (1.7)

Ограничения вида (1.6) означают, что количество жидкости, которое возможно пропустить через дугу за единицу времени, не может превысить пропускную способность дуги. Ограничения вида (1.7) означают, что количество жидкости, притекающей к узлу j, равно количеству жидкости, вытекающей из него.

Поток по сети (совокупность { x_ij }) является допустимым, если все x_ij удовлетворяют ограничениям (1.6) и (1.7). Величина потока — это количество жидкости, которое притекает в узел 0 или вытекает из узла n:

.

Формулировка задачи о максимальном потоке:

Найти такой допустимый поток (т.е. такие x_ij ), при котором

(1.8)

Обобщенная задача о максимальном потоке:

Найти максимальный поток в антисимметрическом графе при ограничениях:

, j=1..n-1; (1.9)

0≤l_ij≤x_ij≤a_ij.

Однако при решении задачи о максимальном потоке нужно учитывать следующие особенности:

1. при оптимизации имеет смысл сокращать только критические работы;

2. после сокращения длительности критических работ может измениться структура критического пути.

1.5.2. Алгоритм поиска ранних сроков свершения событий

В программе, реализующей алгоритм Келли, алгоритм поиска ранних сроков свершения событий применяется для следующих целей:

1. нахождение исходного оптимального плана для алгоритма Келли;

2. нахождение допустимого диапазона значений задаваемого пользователем Тд. Если Тд меньше длины критического пути, рассчитанного при всех t_ij=d_ij, то задача не имеет решений. Если Тд ,больше продолжительности критического пути, рассчитанного при всех t_ij=D_ij, то оптимальным решением будет план, в котором все t_ij=D_ij.

Постановка задачи поиска ранних сроков свершения событий.

В сети n+1 событий. Пусть известны продолжительности работ t_ij. Необходимо рассчитать ранние сроки свершения событий T_j. Будем исходить из того, что

T_j =max{ T_i+ t_ij }. (1.10)

Представим сеть в виде матрицы || R_ij || (i,j=0..n). Если события i и j связывает работа, то R_ij = t_ij, иначе R_ij не заполняется.

Полагаем все T_i =0. Просматриваем все столбцы от столбца1 до столбца n. В каждом столбце просматриваем R_ij (для i<j, т.к. в правильно построенной сети нет работ (i,j) с i≥ j ), каждый элемент помечается числом  _i, причем

 _i=T_i+ t_ij .

Далее находим max{  _i } — это ранний срок T_j свершения события j, соответствующего просматриваемому столбцу.