2.2. Постановка задачи контрольного примера

Опишем работу программы на примере сетевого графика, изображенного на рис 1.2.

Пусть для этого сетевого графика известны следующие данные:

• Все b_ij=20, все a_ij=1;

• На длительности работ накладываются следующие ограничения:

5≤t_0,1≤7;

1≤t_1,2≤3;

t_1,3=2;

t_0,2=10;

1≤t_2,7≤2;

7≤t_3,4≤10;

2≤t_3,5≤3;

5≤t_4,6≤8;

3≤t_5,6≤6;

3≤t_6,7≤5;

2≤t_7,8≤4;

Необходимо найти оптимальный план выполнения проекта для Тд=32 дня.

Математическая модель задачи имеет вид:

Z= —( t_0,1+ t_1,2+ t_1,3+ t_0,2+ t_2,7+ t_3,4+ t_3,5+ t_4,6+ t_5,6+ t_6,7+ t_7,8)+20*11=

= —( t_0,1+ t_1,2+ t_1,3+ t_0,2+ t_2,7+ t_3,4+ t_3,5+ t_4,6+ t_5,6+ t_6,7+ t_7,8)+220min

при ограничениях

T₁—T₀—t_0,1≥ 0;

T₂—T₀—t_0,2≥ 0;

T₂—T₁—t_1,2≥ 0;

T₃—T₁—t_1,3≥ 0;

T₇—T₂—t_2,7≥ 0;

T₄—T₃—t_3,4≥ 0;

T₅—T₃—t_3,5≥ 0;

T₆—T₄—t_4,6≥ 0;

T₆—T₅—t_5,6≥ 0;

T₇—T₆—t_6,7≥ 0;

T₈—T₇—t_7,8≥ 0;

T₀= 0;

T₈= 32.

2.3. Решение контрольного примера на основе алгоритма Келли

Рассмотрим на примере алгоритмы, реализованные в программе net_planning.

Поиск оптимального плана для Ткр=М (М—ранний срок наступления завершающего события при всех t_ij=D_ij). Продолжительности работ в таком оптимальном плане уже известны. Необходимо найти T_j. Для этого построим матрицу, аналогичную описанной в пункте 1.5.2 (таблица 2.1) Если существует работа (i,j), то в клетку таблицы записывается t_ij=D_ij.

Таблица 2.1

Матрица для расчета T_j

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0		7	10
1			3	2
2								2
3					10	3
4							8
5							6
6								5
7									4
8

T₀ считаем равным 0. Найдем T_1. Для этого просматриваем столбец 1. В столбце 1 существует только один непустой элемент R₀₁=7, значит, T₁=T₀+ R₀₁=0+7=7.

В столбце 2 есть 2 непустых элемента, R₀₂=10, R₁₂=3, значит, T₂=max{T₀+ R₀₂; T₁+ R₁₂}=max{0+10;7+3}=max{10;10}=10.

Аналогично рассчитываются все T_j. Их значения следующие:

T₀=0

T₁=7

T₂=12

T₃=9

T₄=19

T₅=12

T₆=27

T₇=32

T₈=36.

Таким образом, получены ранние сроки свершения событий при Ткр=М; М=36.

Распределение работ по множествам E₁, E_2, Q₁, Q₂, Q₃, Q₄.

Признаки, по которым работы можно распределить по множествам E₁, E_2, Q₁, Q₂, Q₃, Q_4, были представлены в таблице 1.2.

Например, для работы (0,1) свободный резерв равен T₁—T₀—t₀₁=0, значит, работа принадлежит множеству E₁. При этом в данном оптимальном плане t₀₁=7=D₀₁>d₀₁, значит, работа принадлежит также множеству Q₁. Аналогично рассмотрев все работы, получаем следующее распределение работ по множествам (таблица 2.2).

Таблица 2.2.

Распределение работ по множествам E₁, E_2,Q₁, Q₂,Q₃,Q₄ (шаг 1)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0		E1&Q1	E1&Q2
1			E1&Q1	E1&Q2
2								E2&Q1
3					E1&Q1	E1&Q1
4							E1&Q1
5							E2&Q1
6								E1&Q1
7									E1&Q1
8

По правилам, описанным в алгоритме Келли, построим таблицу для поиска максимального потока через сеть, на которую наложены ограничения (таблица 2.3). Например, работа (0,1)E₁&Q₁, значит, в клетку ij записываем a_ij=1.

Таблица 2.3

Поиск максимального потока (шаг 1.1)

	0*	10	20	31	43	53	64	76	87
0		1—	
1	0+		1	—
2	0	0
3		0+			1—	1
4				0+			1—
5				0
6					0+			1—
7							0+		1—
8								0+

Производится разметка вершин. Столбец 0 не отмечается. В строке 0 ищем положительные элементы. Это R₀₁ =1 и R₀₂=, значит, столбцы 1 и 2 отмечаются числом 0 (номер просматриваемой строки). Теперь необходимо просмотреть строки 1 и 2 (их номера соответствуют номерам только что размеченных столбцов). В строке 1 два положительных элемента: R₁₂ =1 и R₁₃=, но столбец 2 уже отмечен, поэтому элемент R₁₂ не рассматривается; столбец 3 отмечается числом 1 и т.д.

Теперь необходимо по разметке найти путь от завершающего события к исходному. Метка последнего столбца равна 7. Значит, элемент R₇₈ отмечается знаком "—", а элемент R₈₇ — знаком "+". Отметив элемент R₈₇, мы перешли в столбец 7. Его метка равна 6, значит, в столбце 7 элемент R₆₇ отмечаем знаком "—", а элемент R₇₆. — знаком "+", и т.д.

Полученный путь 08: (0,1)-(1,3)-(3,4)-(4,6)-(6,7)-(7,8).

Найдем пропускную способность построенного пути:

h=min{a₀₁,a₁₃,a₃₄,a₄₆,a₆₇,a₇₈}=1.

Производится пересчет таблицы. От всех a_ij ^—отнимается h, ко всем a_ij ⁺— прибавляется. В результате получена таблица 2.4.

Таблица 2.4

Поиск максимального потока (шаг 1.2)

	0*	1	20	3	4	5	6	7	8
0		0	
1	1		1	
2	0	0
3		1			0	1
4				1			0
5				0
6					1			0
7							1		0
8								1

В такой таблице нет ни одного пути 08, т.к. невозможно разметить столбец 8. Существует только путь 02.

Распределение событий по множествам {u} и {v}. Событие 0 принадлежит {u} в любом случае; событие 2 принадлежит {u}, т.к. существует путь 02. Остальные события принадлежат {v}. В сечение попадают работы (0,1) и (2,7).

Поиск переменных двойственной задачи.

Для событий 0 и 2 ₀=0 и ₂=0,т.к. они принадлежат {u}; для остальных событий _j=1.

Найдем параметр . Для работы (0,1) ₀₁=1, т.к. она принадлежит E₁&Q₁, и при этом событие 0 принадлежит {u}, а событие 1 принадлежит {v}. Все остальные _ij=0.

Найдем параметр . Для работы (0,1) ₀₁ =₀₁+₀—₁=1+0—1=0. В результате расчета получаем, что все _ij кроме ₂₇ равны 0, ₂₇= —1.

Найдем параметр ₀. Для этого найдем ', ", "'.

'=(T₇—T₂—t₂₇)/1=20;

'"=(t₀₁-d₀₁)/₀₁=2,

₀=min{'; '"}=2.

Таким образом, состав работ в оптимальном плане не изменится, если Ткр=36 уменьшить на величину , если [0;2). При этом изменятся ранние сроки свершения событий:

T'₀=0;

T'₁=7—;

T'₂=10;

T'₃=9—;

T'₄=19—;

T'₅=12—;

T'₆=27—;

T'₇=32—;

T'₈=36—;

и продолжительность работы (0,1): t₀₁=7—.

Положим  =2. Тогда

T'₀=0;

T'₁=5;

T'₂=10;

T'₃=7;

T'₄=17;

T'₅=10;

T'₆=25;

T'₇=30;

T'₈=34.

Снова распределяем работы по множествам E₁, E_2, Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ (таблица 2.5).

Таблица 2.5.

Распределение работ по множествам E₁, E_2, Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ (шаг 2)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0		E1&Q3	E1&Q2
1			E1&Q1	E1&Q2
2								E2&Q1
3					E1&Q1	E1&Q1
4							E1&Q1
5							E2&Q1
6								E1&Q1
7									E1&Q1
8

Повторяем описанные выше действия. В результате получим новый Ткр'=31.

Получено, что Ткр'< Тд< Ткр (31<32<34). Значит, для нахождения оптимального плана при Тд=32 необходимо использовать параметры, рассчитанные на данном шаге. Эти значения следующие: ₃₄=1; остальные _ij=0;

₀=₁=₂=₃=₅=0; остальные _j=1.

Найдем *. По определению *=Ткр—Тд=34-32=2.

По формулам (1.19) получаем оптимальный план, представленный в таблицах 2.6 и 2.7. Стоимость полученного оптимального плана выполнения проекта составит 162 д.е.