3. Задача 3 (модель с затратами на оформление заказа).

Фирма занимается продажей катеров. По многолетнему опыту работы известно, что катера начинают покупать в мае, а в августе спрос на них падает, так что продавать их в сентябре убыточно. Катера производятся не в том городе, где находится фирма, поэтому имеет смысл привозить их в город заранее.

Найти оптимальный график привозов катеров из другого города, учитывая то, что продавать катера можно только 4 месяца. Затраты на оформление заказов, спрос затраты на хранение приведены в следующей таблице.

Таблица 2.12

Период i	Спрос Di (единицы)	Затраты на оформление Заказа, Кi(тыс $)	Затраты на хранение, Hi (тыс $)
1	5	5	1
2	2	7	1
3	3	9	1
4	3	7	1

Затраты на оформление заказа включают оплату услуг юриста и уплату пошлин. Для хранения катеров используется большой ангар, также нанимаются рабочие для поддержания катеров в рабочем состоянии.

Здесь используются обозначения:

i —количество периодов;

х₁ — начальный запас;

х_i — объем запаса на начало следующего периода;

z_i —количество заказанной продукции на i-ом периоде;

D_i — спрос в каждом периоде;

К_i — затраты на оформление заказа в каждом периоде;

h_i — затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа i в этап i+1.

Затраты на приобретение шести катеров составляют 1 тысячу долларов за каждый и 2 тысячи долларов за каждый дополнительный катер (рабочим предприятия необходимо оплачивать дополнительную работу в неурочные часы).

Решение.

Так как дефицит не допускается, задача управления запасами сводится к нахождению z_i, минимизирующих суммарные затраты, связанные с размещением заказов, закупкой и хранением продукции на протяжении четырех этапов.

Для решения задачи воспользуемся процедурой прямой прогонки.

Функция производственных затрат для периода i равна , где

=

так как о начальном запасе ничего не сказано, то будем считать его равным 0.

Этап 1(первый период), D1=5

Запас в начале будущего периода х₂ может принимать значения от 0 до 2+3+3=8 (суммарный спрос в последующие периоды). То есть запас в начале следующего периода рассчитывается так, что учитывается тот факт, что его может вовсе и не быть или в предельном случае он может удовлетворить спрос на всех последующих этапах.

Минимальное значение заказа z₁ равно спросу в данном периоде, так как количество заказанной продукции не может быть ниже спроса, то есть z₁=5, а максимальное значение заказа может быть равно общему спросу за все 4 периода, то есть 13, ведь теоретически возможно сделать сразу заказ на все четыре периода.

Рассчитаем возможные варианты производственных затрат. Расчеты приведем в таблице 2.13.

Таблица 2.13

		С1(z1)+h1x2									Оптимальное решение
		z1=5	6	7	8	9	10	11	12	13
x2	h1x2	c2(z2)=10	11	12	13	17	19	21	23	25	f1(x2)	z1*
0	0	10									10	5
1	1		12								12	6
2	2			14							14	7
3	3				16						16	8
4	4					21					21	9
5	5						24				24	10
6	6							27			27	11
7	7								30		30	12
8	8									33	33	13

Спрос в данном периоде составляет 5 единиц, а запас на следующий период определяется как x₂ = z₁ -D₁ =z₁ -5. Рассчитываются только элементы главной диагонали, так как только они удовлетворяют равенству x₂=z₁ -5.

Здесь элементы матрицы рассчитываются:

А₂₂=h₁x₂+c₁(z₁)+K₁=1+11=12;

То есть мы суммируем затраты на хранение х₂ единиц продукции (h₁x₂ – эти данные берутся из таблицы), затраты на покупку продукции c₁(z₁)– также есть в таблице, затраты на оформление заказа K1 – в таблице 2.12 и в результате получаем вариант производственных затрат при данных вариантах объема заказа.

А₃₃=h₁x3+c₁(z₁)+K₁=2+12=14;

…

Далее рассчитываем минимальные общие затраты на этапе 1 для каждого возможного значения х₂.

, результаты расчета отражены в таблице 2.13 в столбце «оптимальное решение».

Мы не можем сказать каково окончательное оптимальное значение на данном этапе, так как не знаем какой объем заказа будет сделан в следующем периоде.

Этап 2 (второй период), D2=2

Запас х₃ может принимать значения от 0 до 3+3=6 (т.е. запас вначале следующего периода может быть от 0 до размера суммарного спроса в будущие периоды).

Минимальное значение заказа z₂ равно 0, а максимальное значение заказа может быть равно общему спросу за все 3 периода, то есть нынешний и будущие, это равно 8.

Рассчитаем возможные варианты заказа продукции. Расчеты приведем в таблице 2.14.

Таблица 2.14

		С2(z2)+h2x3+f1(x3+D2-z2)									Оптимальное решение
		z2=0	1	2	3	4	5	6	7	8
x3	h2x3	c2(z2)=7	8	9	10	11	12	13	15	17	f2(x3)	z2*
0	0	21	20	19							19	2
1	1	24	23	22	21						21	3
2	2	30	26	25	24	23					23	4
3	3	34	32	28	27	26	25				25	5
4	4	38	36	34	30	29	28	27			27	6
5	5	42	40	38	36	32	31	30	30		30	6
6	6	46	44	42	40	38	34	33	33	33	33	6

Расчет элементов матрицы производится следующим образом

1. Для каждого элемента матрицы сначала рассчитывается значение

х₂ = x₃+D₂-z₂.

2. Если полученные значения х₂ использовались на предыдущем этапе и для них были рассчитаны f₁(x₂), то выполняется непосредственно расчет элементов матрицы.

А₂₂=h₂x₃+c₂(z₂)+K₂+ f₁(x₃+D₂-z₂)=8+1+14=23;

То есть мы суммируем затраты на хранение х₃ нереализованных единиц продукции (h₂x₃ – берется из второго столбца таблицы), затраты на покупку продукции c₂(z₂) – берется из таблицы, затраты на оформление заказа K₂ –берется из таблицы 2.12, производственные затраты в прошлом периоде (эти данные берутся из предыдущей таблицы 2.5) и в результате получаем вариант производственных затрат при данных вариантах объема заказа за два месяца.

А₃₃=h₂x₃+c₂(z₂) + f₁(x₃+D₂-z₂)+K₂=2+9+14=25;

…

Далее рассчитываем минимальные общие затраты на этапе 2 для каждого возможного значения х₃.

, результаты расчета отражены в таблице 2.14 в столбце «оптимальное решение».

Здесь — значение минимальных общих затрат на предыдущем этапе, то есть при нахождении минимальных общих затрат в данном периоде учитываются данные прошлого периода.

3. Если среди величин х₂ на предыдущем этапе не было таких же, какие были получены на данном этапе, то соответствующие элементы матрицы не вычисляются.

Мы не можем сказать каково окончательное оптимальное значение на данном этапе, так как не знаем какие заказы будут сделаны в следующем периоде.

Этап 3 (третий период), D3=3

Расчеты возможных вариантов производственных затрат выполняются аналогично этапу 2.

Таблица 2.15

		С3(z3)+h3x4+ f2(x4+D3-z2)							Оптимальное решение
		z3=0	1	2	3	4	5	6
x4	h3x4	9	10	11	12	13	14	15	f3(x4)	z3*
0	0	34	33	32	31				31	3
1	1	37	36	35	34	33			33	4
2	2	41	39	38	37	36	35		35	5
3	3	45	43	41	40	39	38	37	37	6

Этап 4 (четвертый период), D4=3

Расчет аналогично этапу 2, но с тем отличием, что этот этап является последним, поэтому нет необходимости учитывать последующие периоды (их нет) и можно сказать, что минимальные производственные затраты за четыре периода составят 41 тысячи долларов. К тому же объем запаса на конец этапа должен быть равен 0, чтобы избежать лишних трат, так как неиспользованный запас после четвертого периода не может быть реализован.

Таблица 2.16

		С4(z4)+h4x5+ f3(x5+D4-z4)				Оптимальное решение
		z4=0	1	2	3
x5	h4x5	7	8	9	10	f4(x5)
0	0	44	43	42	41	41

Оптимальное решение 41 тысячи долларов было достигнуто при f₃(0) так как x₅+D₄-z₄=0+3-3. Следовательно, мы учитываем, что в начале данного периода остаток с прошлого периода составил 0 единиц, что было достигнуто при закупке в прошлом периоде, z₃*=3. Это означает, что затраты за прошлые три месяца составили 31 тысячу долларов и закупка z₃*=3 была оптимальна. А это в свою очередь было достигнуто при f₂(0). Рассуждая далее аналогичным образом до первого периода, выясним, что оптимальное решение определяется следующими значениями переменных z₁*=5, z₂*=2, z₃*=3, z₄*=3.

Ответ: в первый месяц следует привезти 5 катеров, во второй – 2, в третий – 3, в четвертый – 3. При этом затраты составят 41 тысячу долларов.