1.Постановка задачи оптимизации

Для изготовления сплава из меди, олова и цинка в качестве сырья используется два других сплава этих же металлов, отличающиеся составом и стоимостью. Данные об этих сплавов приведены в таблице.

Таблица 1.1

Компоненты сплава	Содержание компонентов, %
	Сплав 1	Сплав 2
Медь	10	10
Олово	10	30
Цинк	80	60
Стоимость 1кг, долл.	4	6

Получаемый сплав должен содержать не более 2 кг меди, не менее 3 кг олова; содержание цинка может составлять от 7.2 до 12.8 кг.

Определить количество сплавов 1 и 2, необходимые для получения нового сплава с минимальными затратами.

2.Построение аналитической модели

Построим аналитическую модель задачи. Введём переменные, которые требуется определить: X₁ – количество сплава 1, необходимого для получения нового сплава (в кг); X₂ – количество сплава 2, необходимого для получения нового сплава (в кг).

Составим ограничения на содержание меди. Содержание меди в сплавах 1 и 2 составляет 10% и 10% соответственно, а новый сплав должен содержать не более 2 кг меди. На основании этих данных можно составить ограничение:

0.1X₁+0.1X₂ 2.

Аналогично можно составить ограничение на расход олова. Новый сплав должен содержать не менее 3 кг олова, а содержание этого металла в сплавах 1 и 2 соответственно равно 10% и 30%. Таким образом, ограничение на содержание олова будет иметь следующий вид:

0.1X₁+0.3X₂3.

Получаемый сплав может содержать от 7.2 до 12.8 кг цинка, а сплавы 1 и 2 содержат 80% и 60% цинка соответственно. Исходя из этого, составим следующие ограничения:

0.8X₁+0.6X₂7.2

0.8X₁+0.6X₂12.8.

Кроме того, переменные X₁ и X₂ по своему физическому смыслу не могут принимать отрицательные значения, так как они обозначают количество сплавов. Поэтому нужно указать ограничения неотрицательности: X_i0 i=1,2.

В нашей задаче требуется определить количество сплавов 1 и 2, необходимых для изготовления нового сплава с минимальными затратами. Стоимость сплава 1 равно 4 долл. за 1 кг, а стоимость сплава 2 – 6 долл. за 1 кг. Общая стоимость сплавов 1 и 2 составит: 4X₁+6X₂. В таком случае наша целевая функция будет иметь следующий вид:

E=4X₁+6X₂min.

Приведём общую математическую модель:

0.1X₁+0.1X₂2

0.1X₁+0.3X₂3

0.8X₁+0.6X₂7.2 (2.1)

0.8X₁+0.6X₂12.8

E=4X₁+6X₂min (2.2)

В этой задаче ограничения имеют вид как «меньше либо равно», так и «больше либо равно», а целевая функция подлежит минимизации.

3.Обоснование и описание вычислительное процедуры

3.1.Обоснование вычислительной процедуры

Все ограничения и целевая функция, в нашей задаче, линейны, что позволяет нам применить один из методов линейного программирования. Основным методом линейного программирования является симплекс-метод, но в этой задаче мы воспользуемся двухэтапным симплекс-методом, вместо обыкновенного симплекс-метода. Именно методы искусственного базиса предназначены для решения задач линейного программирования, содержащих ограничения различных видов: «больше либо равно», «меньше либо равно», «равно». А ведь наша математическая модель содержит ограничения вида «меньше либо равно», а также ограничения вида «больше либо равно». Для задач, содержащих ограничения «больше либо равно» или «равно», обычно нельзя использовать в качестве начального допустимого решения начало координат, т.е. решение, в котором все исходные переменные математической модели равны нулю: X₁=X₂=0. Такое решение оказывается недопустимым (не соответствует ограничениям). Нахождение начального допустимого решения приведено в разделе 4.2.