Құйманың қатуындағы жеңілдетілген есеп

Жұмыстың мақсаты: Құйманың қатуындағы жеңілдетілген есептерді зерттеу.

Жұмыс жоспары:

1. Теориялық бөлім

2. Есеп шығару мысалдары

3. Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар

Кілт сөздер: Құйманың қатуы, балқыма массиві, қату заңы, құйма.

Бақылау сұрақтары:

1. Құйманың қату үрдісі немен сипатталады (қандай заңмен)?

2. Қату коэффициенті деп аталатын пропорционалдық коэффицент К неге тәуелді өзгереді?

3. Қату жылдамдығын бағалау үшін не кеңінен қолданылады (заң)?

4. Жұмыстың мақсаты қандай?

Глоссарий:

1. Қату үрдісі - уақыт пен кеңістікте балқыманың қатқан қабатына ауысу немесе қатаю заңы.

2. Квадрат түбірлі заң - эмпирикалық түрде орын алатын, жартылай шектеулі балқыма массивін қатайту туралы есептердің және суытылатын ауданның тұрақты температурасын ұстап тұруының аналитикалық шешімі.

Теориялық бөлім

Құйманың қатаю үрдісі балқыманың қатаю қабатындағы уақыт пен кеңістіктің тасымалдану немесе қатаю заңымен сипатталады:

φ = f(x, y, z, t), (14.1)

φ = ф(a, y, z, t), (14.2)

мұндағы, φ - құйманың қатты қабатының қалыңдығы; ∂φ / ∂t - қатаю жылдамдығы.

14.1 және 14.2 тәуелділігін білу технолог үшін келесі себептер маңызды:

1) қатаю заңы (14.1) құйманың қатпаған бөлігінің конфигурациясымен сипатталады және сұйық металдық ваннаның толық тереңдігін анықтауға мүмкіндік береді, (БҮҚҚ «металлургиялық ұзындығы»), бұл үздіксіз құюдағы режимдік параметрлерінің дұрыс тапсырмалары үшін маңызды - құйманың сору жылдамдығы мен суу интенсивтілігі.

2) қатаю заңы (14.1) БҮҚҚ ең қауіпті зоналарындағы құйманың қатты қабатының қалыңдығымен сипатталды.

3) қатаю жылдамдығы φ химиялық біркелкіліксіздіктің (зоналық ликвидация) туындауы кезінде маңызды роль атқарады.

Қатаю жылдамдығын бағалау үшін квадраттық түбір заңының жеңілдетілген тәсілі кеңінен қолданылады:

φ = К√t. (14.3)

Қатаю коэффициенті деп аталатын пропорционалдық коэффициент К құйма қимасының формасына, сұйық болаттың қыздырылу дәрежесіне ішкі суытылу жағдайына тәуелді өзгереді.

Эмпирикалық түрде қабылданған квадраттық түбір заңы (14.3) балқыманың жартылай шектелген массивінің қатуы туралы есептердің аналитикалық шешімімен келісіледі, суытылған бетте тұрақты температура ұстап тұрылады. Төменде осы есептің (Стефан есебі деп аталатын) математикалық формуласы келтірілген.

Балқыманың жартылай шектелген массивін қарастырамыз, суытылатын беттегі Х координатасының басы қабылданады. Массивтің бөлігі (0 ≤ х ≥ φ) қатты фазамен бос болмайды, басқа бөлігі (х > φ) өзін балқыма тәрізді көрсетеді. Массивтің екі бөлігі үшін стационарлы емес өткізгіштігі бар есептер параболалық типтес теңдеулер көмегімен есептеледі:

0 ≤ х ≤ φ кезінде (∂Т₁ / ∂t) = а₁(∂²Т₁ / ∂х²),

х > φ кезінде (∂Т₂ / ∂t) = а₂(∂²Т₂ / ∂х²),

және шеткі жағдайлар: Т₁ = f₁(t); х = 0 кезінде.

х → ∞, t > 0 кезінде (∂Т₂ / ∂х) = 0,

х = φ кезінде - λ₁(∂Т₂ / ∂х)_{х = φ} = ρL(∂φ / ∂t) - λ₂(∂Т₂ / ∂х)_{х = φ},

х = φ кезінде Т₁(φ₁t) = Т₂(φ₂t) = Т_к = cons,

t = 0 кезінде Т₁(х, 0) = ф₁(х),

t = 0 кезінде Т₂(х, 0) = ф₂(х).

мұндағы, 1 және 2 индексі бар коэффициенттер - қатты қабат және балқыма үшін; φ = φ (t) - уақыт бойынша үздіксіз дифференциацияланатын функция; T₁, T₂ - температуралар; T_kp - балқыманың кристаллизациясындағы тепе - теңдік температурасы; ρ - массалық тығыздық; λ - жылуөткізгіштік коэффициенті; L - балқыманың үлесті жылулығы; с и а = λ / pc - үлесті жылу сыйымдылықтың және балқыманың жылуөткізгіштігінің коэффициенттері.

Стефан есебінің ең қарапайым түрі суытылған беттердегі температураның өзгермеуінің мүмкіндігі болған жағдайда, яғни, f₁ = Т_к = const. Бұл кезде қатты қабықтың оң бағытта ысырылғанда Х осі бойымен 14.3 формуласымен анықталады және де К транцендентті теңдеу түбірі болады:

λ₁(Т_кр - Тⁿ₁) / √а₁ · erƒ(к / 2 · √а₁ · exp(- К² / (4а₁)) + λ₂(Т_о - Т_кр exp(- К² / 2√а₂) / √а₂ erƒс(К / 2√а₂) = ρ₂LK√π / 2.

Стефан есебінің шешімі қарапайымдалады, егер балқыманың қатты балқуын ескермеген жағдайда және де Т₀ = Т_кр деп қабылдап, ехrz² және erƒ функциясын жіктеп және қатарларды олардың алғашқы қосындысымен шектелсек, онда К қату коэффициенті келесі формуламен анықталады:

. (14.4)

Егер, ехpz² функциясын жіктеуде екі мүшені қолданып, ал erfz - ті жіктеуде бірмүшені қолданса онда келесіні табамыз:

. (14.5)

К қату коэффициентінің мәнің есептегенде 14.4 формуласы бойынша келесі нәтижені береді К = 3,07см / минут^1/2, ал 14.5 формуласымен есептегенде: К = 2,36см / минут^1/2.

Бұл жағдайда көміртекті болаттың кристалдану жағдайына келесідей жылуфизикалық сипаттамалар қабылданады:

λ₁ = 29,1Вт / (м ∙ К); ρ₁ = 7200кг / м³; ρ₂ = 6900кг / м³;

С₁ = 0,71кДж / (кг ∙ К); L = 268кДж / кг; T_кр - T_б = 500°К.

Айта кетсек 14.4 формулаға сәйкес, К қатты қабаттың жылуөткізгіштігіне байланысты және үлесті жылу балқымасы аса жалпы формула 14.5 - ті қолданғанда, тағы да бір сипаттаманың ықпалы тиеді, ол - С₁ - қатты қабаттың үлестік жылусыйымдылығы. 14.5 формуласы бойынша тәжірибе берілгендерімен қанағаттандырыла байланысады.