Первая функция сложного процента

Пусть на дату вкладывается сумма до даты (рис. 6.1)

Рис. 6.1

Число целых периодов между этими датами и - промежутки времени между точками и соответственно.

Накопление в течение периода составляет

(6.5)

С учетом индекса цен и соответственно покупательной стоимости

(6.6)

или

(6.7)

где

В течение оставшихся периодов накопление составит

(6.8)

В (6.8) и в дальнейшем темп инфляции выражен в сотых. За период накопление будет

(6.9)

Общая формула накопления будет

(6.10)

При h=0

(6.11)

Это есть накопление суммы за период между датами и при отсутствии инфляции. При (6.11) эквивалентна (1.1).

Пример 6.1. 1 июня 2000 года 1500 рублей, т.е. 50 у.е. положены в сбербанк под 3% годовых. Темп инфляции рубля 10% в год. Определить сумму накопления на 1 июня 2003 года в рублях и в условных единицах.

Решение: В примере В соответствии с формулой (6.10) найдем

Поскольку банк не осуществляет компенсацию за инфляцию, то выдаваемая им клиенту сумма в срок равна

но при темпе инфляции в 10% покупательная способность денег составит величину

и сумма в 1640 рублей будет эквивалентна на 1 июня 2000 года сумме

против суммы 1500 рублей. При данном темпе инфляции и ставке процента такое накопление явно убыточное.

Вторая функция сложного процента

Пусть в момент времени вкладывается сумма Далее в точках 1, 2, … m вкладываются одинаковые суммы В момент деньги не вкладываются. Такое накопление называется авансовым аннуитетом.

Для упрощения дальнейших выводов введем обозначение

(6.12)

Тогда накопленная сумма на дату составит

(6.13)

В этом выражении сумма членов геометрической проекции будет

(6.14)

Тогда с учетом (6.14) формула (6.13) будет иметь вид

(6.15)

При следует формула (1.6) авансового накопления (аннуитета),при . –формула (1.8) обычного

Пример 6.2. 1 июня 2000 года осуществлен вклад 1500 рублей под 3% годовых. Далее в начале каждого года осуществлен вклад по 1000 рублей. Тем инфляции 10% в год. Определить сумму накопления на 1 июня 2003 года.

Решение: В примере

В соответствии с (6.15)

или

Если в (6.15) принять h=0, то будем иметь

(6.16)

Тогда

или

Такай сумма будет на счету в банке. Она эквивалентна с учетом процентной ставки i=0,03 сумме 3959 руб. на 1 июня 2000 года.

Третья функция сложного процента

Настоящая функция является обратной ко второй. Из выражения (6.15) следует найти или при заданных Для удобства дальнейших выводов (6.15) перепишем так

(6.17)

где

При заданном из (6.17) найдем

(6.18)

Пример 6.3. Требуется до 1 июня 2003 года накопить сумму в 395900 рублей в ценах на 1 июня 2000 года с учетом процентной ставки. Первоначальный взнос сделан 1 июня 2000 года в сумме 150000 руб., h=0,10, i=0,03. Какую сумму следует вкладывать в начале каждого последующего года для такого накопления?

Решение: В данном случае m=3.

В соответствии с (6.18) будет