Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Физический смысл основного уравнения МКТ заключается в том, что давление идеального газа - это совокупность всех ударов молекул о стенки сосуда. Это уравнение можно выразить через концентрацию частиц, их среднюю скорость и массу одной частицы:

p – давление молекул газа на границы емкости,

m₀ – масса одной молекулы,

n - концентрация молекул, число частиц N в единице объема V;

v² - средне квадратичная скорость молекул.

Вывод основного уравнения мкт

Частицы идеального газа при соударениях с границами емкости ведут себя как упругие тела. Такое взаимодействие описывается согласно законам механики. При соприкосновении частицы с границей емкости проекция v_x скоростного вектора на ось ОХ, проходящую под прямым углом к границе сосуда, меняет свой знак на противоположный, но сохраняется неизменной по модулю:

Поэтому после соударения частицы с границей емкости проекция импульса молекулы на ось ОХ меняется с mv_1x = –mv_x на mv_2x = mv_x.

Изменение импульса молекулы ΔP равняется удвоенному произведению массы молекулы на ее скорость:

Поскольку в каждом из шести основных направлений декартовой системы координат (вверх, вниз, вперед, назад, вправо, влево) движется одна шестая часть частиц N/6. Тогда число частиц, которые сталкиваются с каждой стенкой за время Δt равно:

S – площадь этой стенки

n - концентрация частиц

Давление p равно отношению силы F к площади S, на которую действует эта сила:

Суммарная сила, с которой частицы давят на стенку равна отношению произведения числа этих частиц N и изменения импульса ΔP ко времени, в течение которого происходит давление:

Исходя из вышенаписанного получаем:

Тогда

Если заменить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул - E:

и подставить эту формулу в основное уравнение МКТ, получим давление идеального газа:

Давление идеального газа равняется двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул на единицу объема. При решении задач реальный газ можно считать идеальным газом, если он одноатомный и можно пренебречь взаимодействием между частицами.

Средняя квадратичная скорость молекул — среднее квадратическое значение модулей скоростей всех молекул рассматриваемого количества газа

 

18. Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа. Другие формулы, где встречается средняя энергия молекул идеального газа: С редняя энергия движения молекул и температура. О сновное уравнение МКТ идеального газа распределении энергии по степеням свободы молекулы

       Число степеней свободы: механической системы называется количество независимых величин, е помощью которых может быть задано положение системы. Одноатомный газ имеет три поступательные степени свободы і = 3, так как для описания положения такого газа в пространстве достаточно трёх координат (х, у, z).

Жесткой связью называется связь, при которой расстояние между атомами не изменяется. Двухатомные молекулы с жесткой связью (N₂, O₂, Н₂) имеют 3 поступательные степени свободы и 2 вращательные степени свободы:  i=i_пост +i_вр=3 + 2=5.

Поступательные степени свободы связаны с движением молекулы как целого в пространстве, вращательные - с поворотом молекулы как целого. Вращение относительного осей координат x и z на угол  приведет к изменению положения молекул в пространстве, при вращении относительно оси у молекула не изменяет своё положение, следовательно, координата φ_y в данном случае не нужна. Трехатомная молекула с жёсткой связью обладает 6 степенями свободы

Если связь между атомами не жесткая, то добавляются колебательные степени свободы. Для нелинейной молекулы і_кол. = 3N - 6, где N - число атомов в молекуле.

     Независимо от общего числа степеней свободы молекул 3 степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равна 1/3 значения

       Больцман установил закон, согласно которому для статистической системы (т. е. для системы у которой число молекул велико), находящейся в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем кинематическая энергия, равная   1/2 kT, и на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень свободы «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движения), но и потенциальная энергия, причем   таким образом средняя энергия молекулы

    Мы будем рассматривать молекулы с жесткой связью, поэтому              

   так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул  равна нулю (молекулы не взаимодействуют между собой), то внутренняя энергия 1 моля равна произведению средней энергии одной молекулы на число молекул в моле вещества, то есть на число Авогадро   

Для  молей газа

	§4 Закон Максвелла о распределении по скоростям и энергиям   Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом в 1860 г. определяет, какое число dN молекул однородного  (p = const) одноатомного идеального газа из общего числа N его молекул в единице объёма имеет при данной температуре Т  скорости, заключенные в интервале от   v  до v + dv.       Для вывода функции распределения молекул по скоростям f(v) равной отношению числа молекул dN, скорости которых лежат в интервале v ÷ v + dv     к общему числу молекул N и величине интервала dv Максвелл использовал два предложения: а) все направления в пространстве равноправны и поэтому любое направление движения частицы, т.е. любое направление скорости одинаково вероятно. Это свойство иногда называют свойством изотропности функции распределения. б) движение по трем взаимно перпендикулярным осям независимы т.е. х-компоненты скорости    не зависит от того каково значения ее компонент     или . И тогда вывод  f (v) делается сначала для одной компоненты  , а затем обобщается на все координаты скорости.       Считается также, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Силовые поля на газ не действуют.    Функции   f (v) определяет относительное число молекул dN(v)/N       скорости которых лежат в интервале от   v   до  v + dv   (например: газ имеет N = 106  молекул, при этом dN = 100 молекул имеют скорости от v =100  до  v + dv  =101 м/с (dv = 1 м ) тогда .       Используя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f (v) - закон распределения молекул идеального газа по скоростям:  f (v ) зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т)   f(v) зависит от отношения кинетической энергии молекулы, отвечающей рассматриваемой скорости   к величине kT характеризующей среднюю тепловую энергию молекул газа.   При малых v   и функция f(v) изменяется практически по параболе  . При возрастании v множитель   уменьшается быстрее, чем растет множитель , т.е. имеется max  функции  f(v). Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью   найдем из условия       , следовательно, с ростом температуры наиболее вероятная скорость растёт,  но площадь S, ограниченная кривой функции распределения остаётся неизменной, так как из условия нормировки (так как вероятность достоверного события равна 1), поэтому при повышении температуры кривая распределения  f (v) будет растягиваться и понижаться. В статистической физике среднее значение какой-либо величины определяется как интеграл от 0 до бесконечности произведения величины на плотность вероятности этой величины (статистический вес) <X>= Тогда средняя арифметическая скорость молекул           и интегрируя по частям получили Скорости, характеризующие состояние газа   §5 Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла - опыт Штерна Вдоль оси внутреннего цилиндра с целью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая  нагревается током. При нагревании серебро испаряется, атомы серебра вылетают через щель и попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если оба цилиндра неподвижны, то все атомы независимо от их скорости попадают в одно и то же место В. При вращении цилиндров с угловой скоростью ω атома серебра попадут в точки В’, B’’ и так далее.  По величине ω, расстоянию ? и смещению х = ВВ’ можно вычислить скорость атомов, попавших в точку В’. Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осаждённого слоя,  можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.