Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 68

68 Длинная свертка сигналов

Пусть дана L- точечная импульсная h[m] (рис.4,а). Она свертывается с длинной последовательностью данных x[k] (рис.4,б). Чтобы получить свертку, выделим N отсчетов данных из x(k), образуя «кадр», который может быть использован в качестве входного массива N- точечного ДПФ (рис. 4, в). Наложим на N ограничение N>L. Поскольку используется ДПФ, кадр необходимо рассматривать как один период периодической функции x1[t] (рис. 4,г).

С помощью ДПФ вычислим преобразование N- точечной последовательности, образованной дополнением (N-L) нулями L- точечной импульсной характеристики. Этим достигается периодическое продолжение h[k], т.е. получение функции h1[k] (рис. 4, д).

Последовательность h1[k] свертывается с x1[t] умножением в частотной области:

Если в выражение (7) подставить два выражения (5) и (6) и применить

свойство ортогональности, то можно получить

Учитывая, что N положено больше, чем L, рассмотрим случай, когда m=L- 1:

Это точное выражение, определяющее (L-1)- й выходной отсчет фильтра с L отводами. Члены y1[L], y1[L+1],…,y1[N-1] по той же причине корректны. Рассмотрим теперь первые (L-1) выходных отсчетов. Все они содержат ложные члены, вызванные наложением и определяемые второй суммой в выражении (9). Из–за этого они некорректны и должны быть отброшены Следующий этап включает выделение второго N- точечного кадра, выбираемого так, что его первые (L-1) значений идентичны последним (L-1) отсчетам предыдущего кадра (рис. 4, з). Это необходимо в силу того, что в начале следующей N- точечной свертки снова будет (L-1) ложный отсчет, которые должны быть отброшены.

Корректная часть первой свертки возвращается в память

Поскольку, по крайней мере N отсчетов, взятых из x(k), больше не будут использоваться, отфильтрованные данные, полученные в результате первой свертки, могут быть помещены в те же ячейки памяти, которые содержали первый обработанный кадр. Таким образом, весь процесс фильтрации может быть выполнен с «замещением», и в этом случае потребности в памяти определяются необходимостью хранения лишь первоначальных данных. Если N много больше длительности импульсной характеристики L

(которая может считаться фиксированной и определяется требуемым количеством отводов в фильтре), то свертку можно вычислять сразу большими массивами. С другой стороны, если N мало и ненамного превосходит L, потребуются короткие быстрые свертки и процесс фильтрации может значительно удлиниться. Поэтому существуют оптимальные значения N для заданных L.