25.Циклическая свертка: определение, методы представления и вычислений

Свёртка - базовая операция в ЦОС. В процессе кодирования- декодирования сигналов с использованием конечных полей приходится неоднократно вычислять произведение двух векторов(полиномов), которое принято называть свёрткой.

Понятие круговой свёртки используется только для периодических последовательностей.

Циклическая свертка периодических последовательностей длины N

определяется выражением (1):

При этом справедливы следующие соотношения: x[-n]=x[N-n] и h[-n]=h[N-n].

В матричном виде циклическая свертка записывается следующим образом:

Найдём ДПФ круговой свёртки Y(k), если ДПФ посл-тей x₁(nT) и x₂(nT) соответственно равны X₁(k) и X₂(k):

Заметим,что периодическая посл-ть x₃(nT), равная произведению периодических посл-тей x₁(nT) и x₂(nT) имеет ДПФ:

Циклическую свертку можно вычислить

• с использованием ДПФ по след.алгоритму:

1. Вычислить ДПФ X₁(k) и X₂(k) для посл-тей x₁(nT) и x₂(nT)

2. Вычислить ДПФ Y(k) для свёртки y(nT)

3. Вычислить у(nT) путём вычисления ОДПФ по найденному Y(k)

• с использованием преобразования Уолша-Адамара

• с использованием ТЧП

26. Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование: свойства z-преобразования

Дискретным преобразованием Лапласа называется след.ряд:

где - символическое обозначение дискретного преобр-я Лапласа;

- оригинал- вещественная или комплексная посл-ть, для которой выполняется условие ;

- D-изображение посл-ти ,результат дискретного преобр-я Лапласа.

Дискретное преобр-е Лапласа однозначно связывает посл-ть с её D-изображением и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда

определяемой абсциссой сходимости . На комплексной p- плоскости это область, где .

При исследовании дискретных сигналов и линейных систем, как правило, вместо преобр-я Лапласа используют Z- преобразование, которое получается из дискретного преобр-я Лапласа в результате замены переменных

,

где p- оператор Лапласа: p=

Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах:

• в алгебраической z=c+jd

• в показательной z=r·e^jφ,

где радиус r является модулем, а угол φ- аргументом переменной z

Z- преобр-ем посл-ти называется след.ряд:

где - символическое обозначениеZ-преобр-я;

- оригинал- вещественная или комплексная посл-ть, для которой выполняется условие ;

- D-изображение посл-ти ,результатZ- преобр-я.

Z- преобр-е однозначно связывает посл-ть с её z- изображением и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда

Основные свойства z-преобразования

Одним из важнейших св-в Z- преобразования является св-во его единственности, в соответствии с которым посл-ть x(nT) однозначно определяется z-изображением X(z) в области его сходимости и наоборот, z- изображение X(z) однозначно определяет посл-ть x(nT).

1. Линейность

Если посл-ть равна линейной комбинации посл-тей

,

то её z- изображение равно линейной комбинации z- изображений данных посл-тей:

2. Z-преобразование задержанной посл-ти (теорема о задержке).

Z- преобр-е посл-ти x[(n-m)T], задержанной на m (m>0) отсчётов, равно z- изображению незадержанной посл-ти x(nT), умноженному на z^-m:

;

Z

3. Z- преобразование свёртки посл-тей (теорема о свёртке).

Свёрткой посл-тей иназывается посл-ть, определяемая соотношением

Z- изображение свёртки равно произведению z- изображений свёртываемых посл-тей