Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / doc / 19-24

19. Дискретное во времени преобразование Фурье, его применение в ЦОС.

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками.

DTFT имеет вид:

Легко проверить, что – непрерывная 2π-периодическая функция, т.к. .

DTFT имеет ряд важных свойств:

1. линейность

2.Задержка

3. Частотный сдвиг

4. Свертка

5. Произведение

20. Нерекурсивные цифровые фильтры: типы КИХ фильтров

В зависимости от вида разностного уравнения, описывающего работу цифрового фильтра, последние делятся на рекурсивные и нерекурсивные.

Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром) называют фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечную дискрет-ную последовательность. Нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-фильтром.

Передаточная ф-я нерекурсивного ЦФ получается в результате применения прямого Z-преобразования к разностному уравнению (к-ты ПФ (разностного урав-нения) и отсчёты ИХ нерекурсивного ЦФ совпадают):

• Фильтры «скользящего типа»

• Полюс при z=0 (стабильная структура)

• N нулей (нули B(z)), дает фильтры «все нули»

• Разностное уравнение (разностное уравнение и уравнение свертки совпадают):

• Импульсная характеристика

Структурная схема нерекурсивного ЦФ:

Фильтр скользящего среднего: ,

где

ЧХ фильтра скользящего среднего:

Нерекурсивные цифровые фильтры с линейной ФЧХ, их классификация:

Тип1

N=2L=четное

Симметричная импульсная характеристика: h[k]=h[N-k]

Типы фильтров: НЧ/ВЧ/ПФ

Тип2

N=2L+1=нечетное

Симметричная импульсная характеристика : h[k]=h[N-k]

, ноль в

Типы фильтров: НЧ/ПФ

Тип3

N = 2L = четное, отрицательная симметрия

антисимметричная импульсная характеристика: h[k] = – h[N – k]

, нуль в

Типы фильтров: ПФ

Тип4

N = 2L+1 = нечетное, отрицательная симметрия

антисимметричная импульсная характеристика: h[k] = – h[N – k]

Типы фильтров: ВЧ

Изменение ИХ путем модуляции последовательностью 1,-1,1,-1,..

Тип-2 дает Тип-4 (НЧ -> ВЧ)

Тип-4 дает Тип-2 (ВЧ -> НЧ)

Тип-1 дает Тип-1 (НЧ <-> ВЧ)

Тип-3 дает Тип-3 (ПФ <-> ПФ)

Выводы: фильтры 1 универсальны; фильтры 3 и 4 часто исп-ся при проектировании дифференциаторов и фильтров, реализующих преобр-е Гильберта, т.к. они могут давать сдвиг фазы на 90 град.

В общем: Нерекурсивные цифровые фильтры используются и в тех случаях, когда предъяв-ляемые требования не могут быть реализованы при помощи фильтров Баттерворта и Чебышева, например для выполнения дифференцирования и интегрирования сигналов.

В отличие от рекурсивных фильтров нерекурсивные фильтры не могут аппрокси-мировать АЧХ с крутыми переходами. Тем не менее нерекурсивные фильтры очень популярны из-за легкости проектирования, линейной ФЧХ и гарантированной устойчивости.

21. Дискретизация и восстановление сигнала

Дискретный сигнал- последовательность чисел бесконечной разрядности– последовательность x[nT_д] = x[n],

где nT_д – дискретное время;T_д – период дискретизации;n = nT_д/ T_д – дискретное нормированное время

ПЧ-промежуточная частота

Переход от непрерывного сигнала к дискретному осуществляется с потерей информации. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным значениям и устранение потерь информации зависит от параметров дискретизации - т.е. шага дискретизации, способа восстановления сигнала и от свойств сигнала.

Условие, при котором возможно восстановление сигнала без потерь, определяется из теоремы Котельникова. Прямая формулировка теоремы Котельникова. Если функция f(x)имеет ограниченный спектр, локализованный в диапазоне –f_max≤f≤ f_max, то она полностью определена путем задания отсчетов на наборе точек, отстоящих

друг от друга на расстоянии1/2 f_max.

Теорема Котельникова (как давал саломатин): пусть

1.спектр сигнала x(t)не содержит частот выше F,т.е.X(v)=0 за пределами отрезка[-F;F]

2. Дискретизация сигнала x(t) производится с частотой Fs,т.е. в моменты времени nT_д, здесь Т_д=F_s^-1.

3. F_s≥2F

Тогда исходный анал. сигнал x(t) можно точно восстановить из его цифровых отсчетов x(nT_д), пользуясь интерполяционной формулой:

X(v)

v

F

22. Алгоритмы вычислений дискретных корреляционных функций

1. Свертка временных последовательностей равна преобразованию Уолша-Адамара от произведения спектров сворачиваемых последовательностей (теорема о свертке). Отсюда следует, что корреляционная функция может быть вычислена при помощи двойного преобразования Уолша-Адамара:

X,Y-сворачиваемые последовательности, Bx,By-спектры этих посл-ей, H-матрица Адамара,N-порядок матрицы.

2. Циклическая (периодическая) корреляционная функция двух последовательностей равна:

Корреляционная последовательность может быть выражена через оператор свертки, если перед вычислением одна из последовательностей будет прочитана в обратном порядке, за исключением нулевого отсчета.

Таким образом, эффективные алгоритмы вычисления свертки распространяются и на эффективные алгоритмы вычисления корреляции. Отсюда следует, что структурные схемы процессоров, вычисляющих свертку или корреляцию, не должны иметь принципиальных различий.

23.Дискретное преобразование Фурье:схемы и графы практической реализации

Форма записи ДПФ

-поворачивающий множитель

Матричная форма записи: ДПФ_N(x) = X = F_N x, ОДПФ_N(X) = x = F_N^-1 X,

 где F_N и F_N^-1- матрицы прямого и обратного ДПФ.

Переменную k отождествляют с номером функции, а переменную n – с номером отсчета.

Образуем матрицу:

F₃

Фурье-преобразование- многоканальная корреляция между функцией ДЭФ и сигналом.

X

x(0)

…..

x(N-1)

X

def (k,n)

24. Цифровой фильтр: дифференцирующий фильтр.

Из выражения для производной d( exp( j w t ) )/dt = jw exp( j w t ) следует, что при расчете фильтра производной массива данных, необходимо аппроксимировать передаточную функцию вида H(w) = j w рядом Фурье.

Т.к. коэффициенты такого фильтра будут обладать нечетной симметрией (h_-n = - h_n) и выполняется равенство h_n [exp(j w n)-exp(-jwn)]=2jh_nsin nw, то передаточная х-ка фильтра имеет вид: H(w) = 2 j (h₁ sin w + h₂ sin 2w + ... + h_N sin Nw), т.е. является мнимой нечетной, a сам фильтр является линейной комбинацией разностей симметрично расположенных относительно значений функции.

Идеальная ИХ: h[n] =(cos[p(n – L/2)])/(n – L/2) – (sin[p(n – L/2)])/ p(n – L/2)²

Пример. Дифференцированию подлежит низкочастотный сигнал. Высокие частоты в массиве данных представлены помехами. Передаточная функция фильтра вида:

H(w) = w, w £ w_в,

H(w) = 0, w_в< w £ w_N.

Оператор дифференцирующего фильтра: h(n) = (1/p) ,

n = 0,1,2,...

Принимая w_N = p(Dt = 1) и решая ур-ние при H(w) = w, получаем:

h_n = (1/p)[sin(nw_в)/n² - w_в cos(nw_в)/n], h_о = 0, h _{- n} = - h_n.

Характеристики дифф. фильтра(Ось абсцисс:1рис.-к-ты оператора фильтра,2-частотные ф-ии фильтров):