Скачиваний:
44
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
12.19 Mб
Скачать

46 КИХ фильтр: проектирование по идеальной импульсной характеристики и функции

окна

Пример : ФНЧ, Идеальная АЧХ ФНЧ→→→

 

1

 

 

 

C

 

 

 

Hd

( )

C

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно идеальная ИХ =

h [k]

1

H

 

(e j ).e j

 

d

 

 

 

d

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

sin( c k)

 

k

 

c k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.k d ..

 

 

 

 

hd [k]

N / 2 k N / 2

 

Усечение hd[k] до N+1 выборок :

 

h[k]

 

 

 

 

 

0

в остальных случаях

 

Дополнение (групповой) задержкой для выполнения условия каузальности

Прямоугольное окно

 

 

 

 

 

 

 

 

h[k] hd

[k].w[k]

 

 

1

N / 2 k N / 2

 

 

 

 

 

 

 

w[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ простота

 

 

 

 

0

 

в остальном диапазоне

- проявление эффекта Гиббса – большие боковые лепестки Свойства модулированного сигнала в частотной области

Модулированный сигнал h[k] hd [k].w[k]

Свертка (фильтрация) в частотной области с W(z) H (z) Hd (z) *W (z)

Окна кандидаты : Хан(Han),Хэмминг ( Hamming), Блакман (Blackman), Кайзер ( Kaiser),….

Выбор окна = компромисс между уровнем боковых лепестков (пульсации) и шириной основного , главного лепестка АЧХ (определяет разрешающую способность по частоте)

47 Функции Уолша, быстрое преобразование Уолша-Адамара

В основе функций Уолша - Адамара лежат ортогональные бинарные матрицы Адамара

которые определяются по простому

 

1

1

 

 

 

 

1

1

1

правилу: →→→→→→→→

H2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

H 2

H 2

1

1 1

 

 

 

 

 

 

H 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

H 2

H 2

Рассматривая элементы матриц Адамара как

 

 

1

1

отсчеты непрерывных меандровых сигналов, можно получить функции

1

Уолша - Адамара {had (k,t)}.

HN,

1

1

1

Матрица дискретных функций Уолша - Адамара {had (k, n)}, t

=

 

n t примет

вид:→→→→→→→→→→→→→→→→→→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H 4

H 4

 

 

 

 

had 0, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H8

had (k, n)

 

 

 

 

had 1, n

 

 

 

 

H 4

H 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

had 2, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

had N 1, n

Введем двоичное представление номера функции ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 1

 

n0 , n1,.., nr 1

 

 

 

 

 

n n j

2 j

 

 

 

 

 

j 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и двоичное представление номера отсчета→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 1

 

k0 , k1,.., kr 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k k j

2 j

k

 

 

 

j 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда функции Уолша - Адамара можно определить как: →→→→→→

had

 

n k

 

 

 

 

 

k, n 1

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nk

nj k j

→скалярное

произведение

векторов кодов номеров

функции

и

 

j 0

отсчета, соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например, пусть n 3 0 1 1,

k 2 0 1

 

1 1

1 0 1 и

0 , тогда nk 0 0

элемент матрица с координатами (3,2) равен →→→had(2,3)= 1 1 1.

В основе БПУ лежит свойство расщепления матрицы Адамара.

Быстрое преобразование Уолша аналогично, БПФ. Однако БПУ не требует применения умножения на поворачивающие множители. БПУ так же производится с прореживанием по времени или с прореживанием по частоте. Так, при прореживании по частоте исходная последовательность также разделяется сначала на две половины, потом каждая из половинок тоже делится пополам и т.д., до получения преобразования размера два.

Для БПУ справедливы графы БПФ с отсутствием множителя W k .

Быстрое преобразование Уолша обладает минимальной вычислительной сложностью, которая оценивается в N log 2 N операций сложения.

48 Вычисление Z-преобразование с помощью преобразования Фурье.

Дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ):

F x[n] X ( н ) X (e jн ) x[n]e jнn

n

Z-преобразование:

X (z) x[n]zn

n

ДВПФ = Z-преобразованию в точках z e j н :

F x[n] X (z) z e j н

z 1 e j T

z e j н круг единичного радиуса

Связь преобразования Фурье с Z-преобразованием (Солонина А.И.)

При условии абсолютной сходимости соответствующих рядов фурье – изображение X(e^jwT) последовательности x(nT) совпадает с ее z-изображением X(z),если область значений переменной z на

комплексной плоскости ограничена точками на единичной окружности e^jwT:

X(e^jwT)=X(z) |z=e^jwT

49.БИХ-фильтр: билинейное преобразование, деформирование и коррекция частотной характеристики

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой — линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробнорациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми так и цифровыми.

Билинейное преобразование осуществляется подстановкой вида:

(1)

Также данную подстановку можно инвертировать:

(2)

Рассмотрим некоторые свойства билинейного преобразования.

Если

, то

.

 

 

 

 

Если

- чисто

вещественно, то

 

причем

при

 

модуль

 

, а при

модуль

 

 

Если

- чисто мнимо, то получаем отношение комплексно-сопряженных чисел,

модуль которого всегда равен единице, т.е.

.

 

 

Если

, то при

имеем

, а при

получим

.

Таким образом сделаем вывод. При билинейном преобразовании мнимая ось плоскости s переходит в единичную окружность на плоскости z, причем левая полуплоскость плоскости s отображается внутрь единичной окружности плоскости z, а правая полуплоскость плоскости s отображается вне единичной окружности.

50. КИХ-фильтр: трансформация структур: ФНЧ, ФВЧ, ПФ.

Фильтр с конечной импульсной характеристикой — один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра — некая константа.

Трансформация структур

Принцип : НЧ прототип (частота среза = 1 рад/с ) преобразуется (трансформируется)

в ФНЧ, ФВЧ, ПФ с требуемыми характеристиками

Пример: замена s

 

s

сдвигает частоту среза к ωC

ω

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

Пример: замена s

 

ωC

 

превращает ФНЧ в ФВЧ, с частотой среза = ωC

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2+ω . ω

2

 

Пример: замена s

 

 

 

 

 

1

 

превращает ФНЧ в ПФ. И т. д . ...

 

s.(ω ω )

 

 

2

 

1

 

51. Функции и дискретное преобразование Уолша - Адамара, их свойства и применение при цифровой обработке сигналов в поле вещественных чисел.

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и −1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье .

Свойства Уолша-Адамара:

1.Ортогональность:

2.Балансность:

функции Адамара-Уолша - это равновесные функции с равным числом (1)

и (-1)

Преобразование Уолша-Адамара

Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщённый ряд Фурье представляется формулой:

где это одна из базисных функций, а — коэффициент. Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид:

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

52.Проектирование АЧХ фильтра с минимальным уровнем боковых лепестков

Минимальный уровень боковых лепестков дает окно Блэкмана-Хэрриса, являющееся подвидом косинусного окна.

53.Цифровые системы с линейной фазо-частотной характеристикой

54.Рекурсивные (БИХ) цифровые фильтры: методы описания и синтеза

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой — линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробнорациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми так и цифровыми.

На практике применяют

- синтез БИХ-фильтров по аналоговому прототипу (синтез в s-области) + преобразование аналог->цифра

- синтез БИХ-фильтров путем моделирования в z- области (Паде аппроксимация, метод Прони и т.п.)

МЕТОДЫ

Оптимизационный метод

H ( z )=

B( z )

=

b0+b1 z1+...+bN zN

A( z )

1+a1 z1+...+aM zM

 

 

Задаем спецификацию желаемой ЧХ (НЧ, ВЧ, ПФ,…)

Критерий оптимизации

 

 

 

 

 

 

 

+π

 

 

 

minb

,... ,b

 

,a , ... ,a W (ω) H (e )−H d (ω) 2

где

W (ω)≥0

0

 

 

N

1

 

N

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( b0 , ... , bN , a1 ,.. ., aN )

 

 

Ограничения на устойчивость : A( z )≠0, z 1

 

 

Минимаксный метод

 

 

 

 

Передаточная функция

 

 

 

H ( z )=

B( z )

b0+b1 z1+...+bN zN

Задаем спецификацию

 

=

 

A( z )

1+a1 z1+...+aM zM

ПФ,…)

 

 

 

 

 

 

H d (ω)

 

Критерий

 

 

 

 

 

 

 

весовая функция.

желаемой ЧХ (НЧ, ВЧ,

minb0 ,... ,b N ,a1 , ... ,aN max0ωπ W (ω). H (e )−H d (ω) , где W (ω)≥0 весовая функция

Ограничения на устойчивость : A( z )≠0, z 1

Соседние файлы в папке Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов]