Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / shpory
.pdf55.Двумерное преобразование Фурье и преобразование Фурье по смешанному основанию: определение, процедура вычисления, применение
Двумерное преобразование Фурье
N2 1N1 1 |
|
|
X (k1, k2 ) x[n1, n2 |
]WNn1k1WNn2k2 |
|
n2 0 n1 0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
•x[n1, n2] – двумерный массив
•X(k1, k2) – двумерный массив
• |
WNn1k1WNn2k2 - фазовый множитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
обратное, двумерное ДПФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
N1 |
N2 |
|
|
|
|
x[n1, n2 ] |
|
WN n1k1WN n2k2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
N1N2 k1 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
k2 0 |
|
||||
|
|
БПФ по смешанному основанию |
|||||||
|
ДПФ последовательности x[n];n 0,..., N 1 , N = N1 N2 запишется в виде |
||||||||
|
|
|
|
N |
N |
1 |
x[n]W nk |
|
|
|
|
X (k) |
1 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
n 0 |
N . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Представим входные n и выходные k индексы в смешанной системе счисления с основаниями |
||||||||
N1 N2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n2N1 n1; k k1N2 k2 , |
где n1, k1 0,..., N1 1, |
n2, k2 0,..., N2 1. |
||||||
Последовательности входных и выходных отсчетов преобразуются в двумерные массивы:
d[n1, n2 ] x[n2N1 n1] , n1 0,..., N1, n2 0,.., N2 1;
D(k1, k2 ) X (k1N2 k2 ) , k1 0,..., N1, k2 0,.., N2 1.
После подстановки алгоритм ДПФ представляется в виде
|
|
N1 1 N2 |
1 |
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
D(k1, k2 ) |
|
|
d[n1, n2 ]exp( |
(k1N2 k2 )(n2N1 n1)) |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
n1 0 n2 0 |
|
|
N1N2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
N1 1 |
|
j2 |
|
|
N2 1 |
|
|
]exp( j2 k |
|
|
|
|
|
|||
|
exp( |
|
k |
n ) |
d[n , n |
|
|
n |
|
) exp( |
|||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
N1N2 |
|
2 1 |
|
1 |
|
|
N2 |
|
|
|
||||
|
n1 0 |
|
|
|
n2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(53)
j2
N1 k1n1)
Таким образом, исходное ДПФ оказалось сведенным к двум ДПФ, производимым над уменьшенными массивами. Алгоритм преобразования может быть представлен следующей трехэтапной схемой.
1. Для всех строк матрицы [d[n1, n2 ]] вычисляются N2 точечные ДПФ.
W n1k2
2. Каждый элемент полученной матрицы умножается на фазовый множитель N .
3.Для всех столбцов матрицы, полученной на втором этапе, вычисляются N1 точечные ДПФ.
Заметим, что алгоритм имеет инверсный порядок следования индексов в выходной последовательности. Это объясняется инверсией разрядов в позиционно-численном
представлении индексов по смешанному основанию. Для сохранения естественного порядка следования отсчетов необходимо выполнить операцию обратной перестановки.
Вычислительные затраты при таком способе вычисления ДПФ равны: количество операций умножения равно N (N1 N2 1) ; сложений N (N1 N2 2) .
Если числа N1 и N2 являются составными, то алгоритм БПФ применяется рекурсивно. При этом на каждом шаге рекурсии БПФ сокращает число операций.
56.Цифровые фильтры частотной выборки.
Частотная выборка (ЧВ)
•Коэффициенты ДПФ КИХ-последовательности, равные H(k), можно рассматривать, как значения z-преобразования импульсной характеристики фильтра, найденные в N-равноотстоящих точках на единичной окружности
Фильтр ЧВ
•Для аппроксимации произвольной непрерывной частотной характеристики следует произвести ее дискретизацию по частоте в N равноотстоящих точках на единичной окружности (взять частотную выборку) и найти непрерывную частотную характеристику, интерполируя отсчеты дискретизи-рованной частотной характеристики
• Коэффициенты Фурье hd (n) совпадают с коэффициентами ИХ ЦФ
56.Цифровые фильтры частотной выборки.
Алгоритм БПФ:
•Исходная последовательность разбивается на две подпоследовательности:
•одна состоит из всех первых N/2 отсчетов,
•другая – из N/2 последних отсчетов.
•На втором шаге данная процедура применяется для замены двух N/2-точечных ДПФ на четыре N/4- точечные ДПФ, N/2 умножений на W k и N сложений и т.д.
•Процедура расщепления продолжается до тех пор, пока не останутся только двухточечные ДПФ.
На каждом шаге происходит разделение данных на две части, содержащих соответственно первую и последнюю половинки обрабатываемой части.
В итоге это приводит к тому, что отсчеты выходной последовательности спектральных коэффициентов будут переставлены по закону инверсии двоичного кода индекса.
•Вычислительная сложность алгоритмы такая же как и у алгоритма с прореживанием по времени.
•Метод с прореживанием по частоте не требует предварительной перестановки входных отсчетов.
•Эта особенность может быть использована для организации конвейерной обработки данных, что особенно удобно для спектральной обработки сигналов в реальном масштабе времени.
Граф алгоритма БПФ с прореживанием по частоте для N=8
57.Спектральный анализ сигналов с помощью ДПФ с весовым окном
58.Вычисление дискретного преобразования Фурье на основе алгоритмов свертки и корреляции.
ДПФ – оператор корреляции |
|
nk |
1 |
(n2 |
k 2 |
(n k)2 ) |
|
|
|||
• Воспользуемся тождеством |
|
|
|
||||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Выражение для ДПФ после подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
N 1 |
|
|
|
2 |
N 1 |
2 |
|
2 |
|
|
X (k) x[n] nk k |
2 |
n |
2 x[n] (n k ) |
2 |
||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
•примитивный элемент циклической группы
•W = exp(–j 2 / N)
Алгоритм ЛЧМ-Z преобразования
•Алгоритм позволяет эффективно вычислить Z-преобразование последовательности {x[n]}.
•Пусть N-точечная последовательность {x[n]} имеет образ Z-преобразования
N 1
X z x n z n
n 0
•По определению ДПФ заданной последовательности связано с Z-преобразованием выражением
X (z) z exp( j (2 N )k , k 0,..., N 1
•Зададим контур преобразования общего вида
z |
k |
AW k , |
|
A A e j 2 0 |
, |
|
|
|
0 |
|
|
W W e j 2 0 |
, |
k 0,1,..., M 1 |
|||
|
|
0 |
|
|
|
•где M-произвольное целое число (необязательно равное N), а A и W – произвольные комплексные числа.
•Обозначим через Xk искомые значения Z-преобразования при z = zk
N 1 |
N 1 |
X k x n zk |
n x n A n Wnk , |
n 0 |
n 0 |
k0,1,..., M 1
•Подстановка в эту формулу выражения для произведения nk дает
|
N 1 |
|
|
|
X k x n A n W[n2 k 2 (k n)2 ]/ 2 |
|
|
||
|
n 0 |
|
|
|
|
N 1 |
|
2 |
|
|
[x n A n W[n2 ]/ 2 ](Wk |
2 )W (k n)2 / 2 |
||
|
n 0 |
|
|
|
Формула свертки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
X k Wk 2 |
2 s[n]h[k n] |
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
•где
s[n] x[n]A n Wn2 
2 , h[n] Wn2 2
Алгоритм ЛЧМ-Z
•Задача. Вычисление N –точечного ДПФ через свертку
•Вход: N отсчетов сигнала { f[n]; n = 0,1,…, N –1}.
•Выход: N –коэффициентов {F(k), k = 0,1,…, N– 1}
•ДПФ сигнала f[n].
|
Алгоритм |
|
|
|
|
|
• |
Выбираем NF 2N – 1. Для БПФ NF = 2m |
y[n] y[N |
|
n] e j n |
2 |
/ N |
• |
Формируем множество {y[n]; n = 0,1,…, NF –1} |
F |
|
|||
• |
y[0] =1; для n = 1,2,…, N – 1; NF –N,…, NF –1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•в остальных случаях y[n] =0.
• |
Вычисляется БПФ от {y[n]} |
Y(k`) = БПФ{y[n]}; k` = 0,1,… NF –1. |
x[n] f [n]e |
j n2 |
/ N |
• |
Формируется множество {x[n]; n = 0,1,…, NF –1} для n = 0,…,N – 1 |
|
|
||
|
|
|
|||
• |
для n = N,…, NF –1 x[n] = 0. |
|
|
|
|
•Вычисляется БПФ от {x[n]}
•X(k`) = БПФ{x[n]}; k` = 0,1,… NF –1.
•Производится покомпонентное умножение коэффициентов БПФ
•V(k`) = Y(k`) X(k`);
•k` = 0,1,… NF –1.
•Вычисляется обратное БПФ от V(k`),
•k` = 0,1,… NF –1.
•С[k`] = БПФ{ V(k`)}.
•Выделяются первые N элементов множества { С[k`]}, которые умножаются на весовой коэффициент
F(k) C[k]e j k 2 / N
59.КИХ фильтр «скользящего» типа.
Простейшим КИХ-фильтром является фильтр скользящего среднего (moving average), показанный на рисунке 1. Фильтры скользящего среднего популярны для сглаживания данных. Входные отсчеты x(n) пропускаются через ряд регистров памяти (помеченных z–1), каждый из которых задерживает сигнал на один такт дискретизации. В приведенном примере имеется четыре каскада, соответствующих 4-точечному фильтру скользящего среднего. Каждый отсчет умножается на 0,25, и результаты умножения суммируются для получения значения скользящего среднего, которое подается на выход y(n).
Рис. 1
Реакция 4-точечного фильтра скользящего среднего на ступенчатое воздействие представлена на рисунке 2. Обратите внимание, что фильтр скользящего среднего не имеет выброса по фронту входного сигнала. Это делает его полезным в приложениях обработки сигналов, где требуется фильтрация случайного белого шума при сохранении формы входного импульса. Из всех возможных линейных фильтров фильтр скользящего среднего дает самый низкий уровень шума при заданной крутизне фронта импульса. На рисунке 3, приведены временные графики фильтрованной смеси прямоугольного импульса с белым шумом при различном количестве усредняемых выборок. Из этих графиков видно что уровень шума понижается по мере увеличения числа точек усреднения, но одновременно сглаживаются и фронты. Существенно, что время переходного процесса фильтра при ступенчатом воздействии от 0 % до 100 % равно произведению общего количества суммируемых выборок на период дискретизации.
Рис. 2
Рис.3
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) простого фильтра скользящего среднего соответствует функции sin(x)/x. Она представлена в линейном масштабе на рисунке 4. Увеличение числа точек усреднения сужает основной лепесток, но существенно не уменьшает амплитуду боковых лепестков частотной характеристики, которая равна приблизительно -14 дБ для фильтра с 11- и с 31отводами. Из графиков видно что, эти фильтры не подходят в том случае, где требуется большое ослабление в полосе задержки.
Рис.4
Недостатком фильтра скользящего среднего является значительная неравномерность АЧХ в полосе пропускания и недостаточное подавление в полосе задержки. Избавиться от этих недостатков простейшего КИХ-фильтра можно, если вместо равных значений коэффициентов при суммировании амплитуд выборок использовать специально подобранные коэффициенты. Крутизна спада может быть увеличена добавлением большего количества звеньев в фильтр. Подбор коэффициентов суммирования производится с помощью методов временного анализа, в основе которого лежит интеграл Дюамеля.