Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / shpory

39. Вычисление быстрого преобразования Фурье с помощью ЛЧМ-Z преобразования

n0 N

Преобразуем произведение входных и выходных индексов поворачивающего множителя следующим образом

Подставим полученное в выражение в формулу для ДПФ

В полученном выражении сумма может быть вычислена через операцию свертки

Соответственно выражение для полного спектра с использованием оператора свертки имеет вид

Из формулы видно, что значения спектральных коэффициентов можно найти, рассчитав взвешенную свертку последовательностей b1,b2; последнее можно эффективно провести, используя алгоритм быстрой свертки на основе БПФ.

Алгоритм

Задача. Вычисление N –точечного ДПФ свертку Вход: N отсчетов сигнала { f[n]; n = 0,1,…, N –1}.

Выход: N –коэффициентов {F(k), k = 0,1,…, N - 1} ДПФ сигнала f[n].

1.Выбираем NF 2N -1. Для БПФ NF = 2m

2.Формируем множество {y[n]; n= 0,1,…, NF –1}

3.Вычисляется БПФ от {y[n]}

4.Формируется множество {x[n]; n = 0,1,…, NF –1}

5.Вычисляется БПФ от {x[n]}

6.Производится покомпонентное умножение коэффициентов БПФ

7.Вычисляется обратное БПФ от V(k`), k` = 0,1,… NF –1.

8.Выделяются первые N элементов множества { С[k`]}, которые умножаются на весовой коэффициент

40 БИХ фильтр: синтез по аналоговому прототипу.

(То что дано в методе) Аналоговой фильтр Баттерворта

-Все полюса фильтра (H) определяют амплитуду отклика (G). (N=порядок фильтра)

- полюса G(s)=H(s)H(-s) располагаются на окружности радиуса

(То что найдено в интернете)

Синтез по аналоговому прототипу основан на преобразовании p-плоскости в z-плоскость, а характеристик и параметров аналоговых фильтров - в соответствующие характеристики и параметры цифровых фильтров. Передаточная функция аналогового фильтра на p-плоскости в общем виде может быть записана так:

(1)

Для перехода к функции и разностному уравнению ЦФ существуют следующие четыре метода:

Метод 1. Отображение дифференциалов. Это наиболее простой метод, сущность которого заключается в замене дифференциалов на конечные разности. В операторном уравнении (1), если дифференциалы заменяются прямыми разностями, то

или а если обратными, то

или Метод 2. Инвариантное преобразование импульсной характеристики

(стандартное Z-преобразование). Сущность метода заключается в расчете импульсной характеристики (ИХ) ЦФ по аналоговому прототипу и вычислении системной (передаточной) функции ЦФ.

Метод 3. Согласованное Z-преобразование. Полюсы и нули аналогового прототипа на p-плоскости отображаются в полюсы и нули ЦФ на z-плоскости

по правилу: . Для реализации этого метода передаточную функцию аналогового прототипа представляют в виде произведения сомножителей

,

где ak , bi - действительные или комплексно-сопряженные коэффициенты. Метод согласованного Z-преобразования не применим, если передаточная функция аналогового прототипа имеет только полюсы (нули расположены в бесконечности). Для устранения этого недостатка при расчетах фильтров с нулями в бесконечности рекомендуется вводить полюс того же порядка, что и нуль, в точке z=0.

Метод 4. Билинейное (дробно-линейное) Z-преобразование. При отображении p-плоскости в z-плоскость вся мнимая ось ,

отображается в единичную окружность.

41. Операции с комплексными числами при вычислении ДПФ

Арифметические операции над комплексными числами. Эти операции обладают следующими свойствами:

Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1

Ассоциативность сложения: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z + 0 = z

Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2

– z1.

Коммутативность умножения: z1z2 = z2z1

Ассоциативность умножения: (z1z2)z3 = z1(z2z3)

Дистрибутивность сложения относительно умножения: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

Для любого комплексного числа z:z · 1 = z.

Для любых двух чисел Z1 и Z2 существует такое число z, что Z1*Z=Z2 Такое число z называется частным двух комплексных чисел. Деление на 0 невозможно.

Комплексно сопряжѐнное число обозначается Для этого числа справедливы соотношения:

42. Спектральный анализ: обобщенный спектр в точке zk и в равномерно

Спектральный анализ заключается в разложении сигнала на его частотные или спектральные составляющие и оценке или измерении их характеристик – амплитуды, фазы, мощности, спектральной плотности мощности и др.

Основными методами спектрального анализа являются: методы полосового анализа, бесфильтровые (основанные на ДПФ), параметрические, текущего, скользящего и скачущего анализа.

Предполагается, что спектр аналогового сигнала x(t) сосредоточен в ограниченной полосе частот и, следовательно, его параметры могут быть оценены с помощью спектральных характеристик дискретного эквивалента x[n], который формируется после предварительной аналоговой фильтрации на выходе АЦП. Эффекты наложения и шумы цифрового преобразования не учитываются. Параметры гармонического сигнала, такие как, амплитуда, фаза и частота не изменяются во времени.

Для таких сигналов спектральный анализ может быть выполнен с помощью дискретного во времени преобразования Фурье (ДВПФ):

На практике для анализа используется последовательность g[n] x[n]w[n] , которая определяется как произведение дискретного сигнала x[n] на весовую функцию w[n] на конечном интервале N. В качестве оценки спектра X e j берется спектр взвешенной последовательности G(e j ) , 0 2 , который

вычисляется с помощью R-точечного ДПФ (БПФ), (R N) .

Переход к дискретным частотам осуществляется в точках

G(k) G(e j ) | 2k R , 0 k R 1.

Дискретные частоты k связаны с номером отсчета ДПФ соотношением

k 2Rk .

(100)

При этом номер k коэффициента ДПФ связан с частотой сигнала fc и частотой дискретизации f соотношением

Выход канала ДПФ G(k) совпадает с выходом нерекурсивного фильтра с импульсной характеристикой, отвечающей условию

h[R 1 m] w[m]e jk mT или h[m] w[R 1 m]e jk (R1m)T .

Такой фильтр имеет частотную характеристику

H ( j ) e j (N 1)T W *[ j( k )] ,

являющуюся комплексно-сопряженной частотной характеристикой весовой функции W *( j ) , смещенной вправо (или влево) к частоте k.

Для анализатора с прямоугольной весовой функцией

H ( j k , ) e j (N 1)2 sin[( k )NT / 2] . sin[( k )T / 2]

Влияние весовой функции. Высокий уровень боковых лепестков и обусловленное им сильное влияние каналов анализатора спектра является основным недостатком прямоугольной весовой функции. Эти недостатки преодолеваются с помощью специальных весовых функций, имеющих меньший уровень боковых лепестков. Наиболее известны весовые функции:

Хэмминга w[n] 0,54 0,46 cos2n N , бл= -43 дБ, =8 /N;

Блакмана w[n] 0,42 0,5cos2n N 0,08 cos2n N , бл= -58 дБ и др.

Однако при этом возрастает ширина главного лепестка, что приводит к ухудшению разрешающей способности. Улучшение разрешения анализатора спектра с весовыми функциями обеспечивается путем увеличения числа точек ДПФ, т. е. увеличением времени анализа сигнала.

Метод Уэлча.

Использует перекрытые сегментов последовательности

если сегменты перекрываются на 50 %, тогда дисперсия уменьшается почти в 2 раза по сравнению с методом Барлетта, поскольку происходит удвоение числа сегментов

45 Алгоритмы вычисления автокорреляционной и взаимно корреляционной функций дискретных сигналов с помощью ДПФ (БПФ)

Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи подвергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая, что сигналы s1(t) и s2(t) имеют спектральные функции S1(w) и S2(w):

Полученный результат очень прост. ВКФ связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр S12(w) для сигналов s1(t) и s2(t) представляет собой произведение их спектральных функций одна из которых подвергнута комплексному сопряжению:

Отсюда можно сделать очень важный вывод: если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах . Таким образом,сигналы с неперекрывающимися спектрами являются некоррелированными.

Приняв s1(t)=s2(t)=s(t) получаем аналогичный результат для КФ:

Итак, КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектральной функции, или с энергетическим спектром сигнала.

Отсюда еще один важный факт: КФ сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ. Еще одно следствие заключается в том, что по КФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же из за утраты инфо о фазе).

Из конспекта:

Свертка (корреляция) последовательностей

Периодическая корреляция через ДПФ

•ПВКФ

N 1

r[n] x[l]h*[n l]

l 0

• еѐ спектральное отображение

R k H * k X k