Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / shpory

33. Спектральный анализ сигналов с помощью текущего, взвешенного ДПФ.

Спектральный анализ – это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала.

Спектральная плотность мощности стационарных процессов, статистические характеристики которых не меняются (плотность распределения вероятности и в первом приближении математическое ожидание, дисперсия), удобно вычислять коррелограммным алгоритмом. В случае нестационарных процессов СПМ будет изменяться во времени. Для отображения изменения спектра во времени вводится временная ось, и СПМ уже является функцией частоты и времени. Такой подход вычисления СПМ используется в частотно-временных преобразованиях. Под частотно-временным преобразованием понимается некоторая совместная функция времени и частоты, характеризующая распределение спектра в частотновременной плоскости. Простым примером является текущее преобразование Фурье:

где x[n]– дискретные отсчеты сигнала; n, k – индексы дискретных отсчетов по времени и частоте соответственно; L – длина дискретного преобразования Фурье. Результат F[k,n] вычисляется в координатах частота – время.

Весовая функция окна (оконная функция или просто «окно») используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках. Наличие боковых остатков (боковых лепестков) приводит к амплитудным ошибкам в спектре и к маскированию присутствующих слабых сигналов. Основное назначение функции окна – уменьшить величину смещения и уровень боковых остатков (боковых лепестков) в СПМ.

Дискретное преобразование Фурье от взвешенной окном последовательности есть свертка спектров сигнала x[n] и окна w[n]:

где X ( f ) – преобразование от сигнала x[n];

- ядро Дирихле или дискретная функция «sinc», которая является преобразованием от прямоугольной функции (в данном случае w[n] – прямоугольное окно).

Из выражения видно, что спектр является искаженным относительно X ( f ) функцией окна.

Известен ряд весовых функций, которые в большей или в меньшей степени снижают боковые остатки. Снижение уровня боковых остатков достигается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что приводит к ухудшению разрешения. Следовательно, должен выбираться какой-то компромис между шириной главного лепестка и уровнем подавления боковых лепестков.

Текущее преобразование Фурье можно дополнить, умножив сигнал на весовое окно w[l] (получим взвешенное ДПФ):

34. КИХ-фильтр: оптимальный частотный фильтр.

Особенность – линейная ФЧХ, устойчивость Проектирование:

1.теоретический синтез - методы оптимизации (критерии: min взвешенной СКО, минимаксный критерий)

2.на практике методы:

идеальная ИХ+выбор оконной функции, ЧХ с равными боковыми лепестками.

КИХ фильтр = конечная ИХ фильтра.

H (z) B(z) b0 b1z 1 ... bN z N z N

Фильтры «скользящего типа».Полюс при z=0 (стабильная структура). N нулей (нули B(z)), дает фильтры «все нули»

Разностное уравнение:

y[k] b0.u[k] b1.u[k 1] ... bN .u[k N]

Импульсная характеристика:

h[0] b0 , h[1] b1,..., h[N] bN , h[N 1] 0,...

Схема КИХ:

КИХ-фильтры с ЛФЧХ.Тип-1

N=2L=четное; Симметричная импульсная характеристика; h[k]=h[N-k];

L

H (e j ) e j N / 2 . dk .cos( .k)

k 0

Типы фильтров: НЧ/ВЧ/ПФ

КИХ-фильтры с ЛФЧХ. Тип-2

N=2L+1=нечетное;Симметричная импульсная характеристика;h[k]=h[N-k] ;

H (e j ) e j N / 2 cos( ). L d .cos( .k) 2 k

k 0

нуль в Типы фильтров: НЧ/ПФ

КИХ-фильтры с ЛФЧХ. Тип-3

N = 2L = четное;антисимметричная импульсная характеристика h[k] = – h[N – k]

L 1

H (e j ) je j N / 2 sin( ). dk .cos( .k)

k 0

нуль в 0,

Типы фильтров: ПФ

КИХ-фильтры с ЛФЧХ.Тип-4

N = 2L+1 = нечетное; антисимметричная импульсная характеристика h[k] = – h[N – k]

H (e j ) j.e j N / 2 sin( ). L d .cos( .k) 2 k

k 0

Типы фильтров: ВЧ

Фильтры 1 типа – универсальны. Фильтры 3 и 4 типов – часто используются при проектировании дифференциаторов и фильтров, реализующих преобразование Гильберта, поскольку они могут давать сдвиг фазы на 90º Разработка КИХ-фильтров:

1.Спецификация фильтра

2.Вычисление коэффициентов

3.Выбор структуры

4.Анализ следствий конечной разрядности

5.Воплощение

35. Проектирование КИХ-фильтра по методу частотной дискретизации

Выберем базисную форму для получения ЛФЧХ. Например, для Тип-1:

L

H (e j ) e j N / 2 . dk .cos( .k) e j N / 2 .A( )

k 0

Спецификация желаемой ЧХ (НЧ, ВЧ, ПФ,…) :

Hd ( ) e j N / 2 .Ad ( )

Критерий оптимизации:

min d0 ,...,d L W ( ) H (e j ) Hd ( ) 2 d

min d0 ,...,d L W ( ) A( ) Ad ( ) 2 d

F (d0 ,...,d L )

Где W ( ) 0 - весовая функция

Синтез через оптимизацию:

F (d0 ,...,d L )

minx{xT .Q.x 2xT . p }

Q W ( ).c( ).cT ( )d

0

p W ( ).Ad ( ).c( )d

0

cT ( ) 1 cos( ) ... cos(L )...

Решение оптимизации квадратичной формы: xOPT Q 1.p

Исходные данные задаются по желаемой АЧХ и ФЧХ

36. Быстрое преобразование Фурье с прореживанием во времени

Исходная последовательность x n

разбивается на две последовательности длиной N/2, соответствующие четным и нечетным отсчетам

x1 n x 0 , x 2 ,.., x 2n x2 n x 1 , x 3 ,.., x 2n 1

n 0,1,..., N2 1

Вычисление N-точечного ДПФ в этом случае сводится к двум N/2- точечным ДПФ N/2 умножениям на поворачивающие фазовые множители и N сложениям:

ДПФ -> 2 ДПФ (N/2):

X1(k) WNk X 2 (k)

Структура «бабочка»: Для k = 0,…, N –1 получаем

На втором шаге данная процедура применяется для замены двух N/2-точечных ДПФ на четыре N/4- точечные ДПФ. Далее, каждое ДПФ N/4 расщепляется на два ДПФ N/8 . Эта процедура продолжается до тех пор, пока не останутся только двухточечные ДПФ.

Вычислительная сложность N-точечных ДПФ, N=2m Требуется m = log N шагов, на каждом из которых:

– точечных ДПФ сводятся к – точечным ДПФ;

каждая итерация выполняет N сложений и N/2 умножений на поворачивающие множители

Вычислительная сложность: Сложность N-точечного ДПФ методом прореживания по времени составляет (N/2)log2N операций комплексного умножения и N log2 N операций комплексного сложения.

37.Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте

•Исходная последовательность разбивается на две подпоследовательности:

•одна состоит из всех первых N/2 отсчетов,

•другая – из N/2 последних отсчетов.

Преобразование выражения ДПФ

Для четных k = 2k` и нечетных k = 2k`+1, k`=0,…, N/2 –1 индексов коэффициентов преобразования получаем

• для четных k

Для нечетных k = 2k`+1

38 БПФ по смешанному основанию

ДПФ последовательности x[n];n 0,..., N 1 , N = N1 N2 запишется в виде

Последовательности входных и выходных отсчетов преобразуются в двумерные массивы:

Таким образом, исходное ДПФ оказалось сведенным к двум ДПФ, производимым над уменьшенными массивами. Алгоритм преобразования может быть представлен следующей трехэтапной схемой.

1.Для всех строк матрицы [d[n1, n2 ]] вычисляются N2 точечные ДПФ.

2.Каждый элемент полученной матрицы умножается на фазовый

множитель WNn1k2 .

3. Для всех столбцов матрицы, полученной на втором этапе, вычисляются N1 точечные ДПФ.

Алгоритм имеет инверсный порядок следования индексов в выходной последовательности из-за инверсии разрядов в позиционно-численном представлении индексов по смешанному основанию. Для сохранения естественного порядка следования отсчетов необходимо выполнить операцию обратной перестановки.

Описанный алгоритм предпочтительнее непосредственного прямого вычисления ДПФ, поскольку при этом требуется меньше арифметических операций.

Если числа N1 и N2 являются составными, то алгоритм БПФ применяется рекурсивно. При этом на каждом шаге рекурсии БПФ сокращает число операций.