§4. Правило суммирования Эйнштейна.
Индекс , по которому в формулах (19) и (21) производится суммирование, входит в одночлен, стоящий под знаком суммы, дважды. Это обстоятельство, с которым мы будем часто встречаться в дальнейшем, позволяет записать формулы преобразования еще более кратко. Знаки сумм в формулах (18) и (21) можно опустить, если условиться, что дважды повторяющийся в одночлене нижний латинский индекс будет всегда означать суммирование по значениям 1,2,3 этого индекса. Используя такую запись суммирования, формулы (19) и (21) можно представить в упрощенном виде:
(22а)
(22б)
Как видно из формулы (22), двойной индекс после проведения суммирования исчезает, поэтому такой индекс называется немым индексом. Выбор той или иной буквы для обозначения этого индекса не существенен, если в данном одночлене не встречается другой индекс. Например, формулу (22а) можно записать в виде:
(23)
В
дальнейшем эта свобода выбора индекса
будет часто использоваться. Во всех
последующих формулах индексы будут
подчиняться общему правилу: в корректно
записанном соотношении нижний латинский
индекс в каждом одночлене может
встречаться не более двух раз. Если же
обе стороны соотношения записываются
как суммы одночленов и такой индекс
встретится в одночлене один раз, то этот
индекс войдет один раз и в любом другом
одночлене. Преимущества этого способа
записи можно увидеть на следующем
примере:
.
Пользуясь правилом суммирования
Эйнштейна, это выражение можно записать
в гораздо более компактном и удобном
для восприятия виде: 
.
Здесь все четыре индекса
,
,
,
повторяются дважды и поэтому являются
немыми; по каждому из них производится
суммирование. В результате получается
инвариантная физическая величина –
единица.
Еще
один пример: выражение
в сокращенной записи будет выглядеть
так:
.
Здесь индексы
,
,
– немые, а
,
,
–
свободные.
§5. Преобразование координат точки и вектора.
Рассмотрим
какую-либо точку пространства
с координатами в старой системе:
.
Разложим радиус-вектор этой точки
по старому базису:
(24)
Перейдем
в новую систему координат. Точка
и ее радиус-вектор будут иметь уже новые
координаты
,
и разложение
по новому базису будет выглядеть так:
(25)
Подставим в формулу (24) формулы (20), выражающие старые базисные векторы через новые:
Пользуясь правилом Эйнштейна, запишем это короче:
(26)
Сравнивая (26) с (25) и принимая во внимание, что разложение по базису единственно, получим, что координаты точки в новой системе координат равны:
,
,
.
Эти формулы можно объединить в одну и тогда получим:
(27)
По этому правилу преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем теперь формулы обратного преобразования. Подставим в формулу (25) формулу (22а). При этом сразу будем пользоваться правилом суммирования:
(28)
Сравним (28) с (24). При этом, поскольку в (24) индекс является немым, заменим его буквой , а в (28) немой индекс заменим буквой . Получаем:
(29)
По этой формуле преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от новой системы координат к старой.
По
формулам (27) и (29) преобразуются координаты
радиус-вектора. Поскольку все векторы
мы считаем свободными, то по этим же
формулам преобразуются координаты
(компоненты) любого вектора. Укажем
правило для запоминания суммирования
в формулах преобразования (27) и (29). Первая
формула (27) выражает новые координаты
через старые, суммирование производится
по старым координатам, а это второй
индекс у элементов матрицы
.
Следовательно, суммирование производится
по второму индексу. Вторая формула (29)
выражает старые координаты через новые.
Суммирование производится по новым
координатам, а это соответствует первому
индексу у элементов
.
Следовательно, суммирование идет по
первому индексу.