§19. Бивектор.
Антисимметричный тензор 2-ого ранга называется иначе бивектором. Такое название проистекает из того, что этому тензору можно поставить в соответствие вектор (точнее аксиальный вектор, т.е. псевдовектор). Пусть – антисимметричный тензор 2-го ранга. Его матрица имеет вид:
(130)
Такой
тензор имеет всего три, как говорят,
существенные компоненты
.
Найдем компоненты тензора
в какой-либо другой системе, используя
закон преобразования тензоров 2-ого
ранга (70) и принимая во внимание его
антисимметричность:
(131)
Как было показано в параграфе 12, свойство антисимметричности не зависит от системы координат. Поэтому и в новой системе существенными будут только три компоненты:
(132)
Проанализируем сначала первую из этих формул. В правой части в скобках выражения равны минорам элементов третьей строки матрицы преобразования (см. §3):
,
,
(133)
или, заменяя миноры
алгебраическими дополнениями
,
получим:
(134)
Аналогично для двух других существенных компонент получим:
,
(135)
В задаче 6 параграфа 8 было показано, что каждый элемент матрицы преобразования равен с точностью до знака своему алгебраическому дополнению. С учетом этого получаем:
,
(136)
Если при преобразовании координат ориентация новой системы не изменится, то в (136) следует брать знак плюс. Тогда:
(137)
Эти
выражения напоминают закон преобразования
компонент вектора. Последнее будет
особенно заметно, если переобозначить
существенные компоненты тензора
так:
,
,
.
Соответственно в новой системе:
,
,
.
Тогда формулы (137) принимают знакомый
вид:
(138)
или коротко: 
(139)
Если же ориентация новой системы изменилась, то:
(140)
Объединяя эти две формулы, окончательно получим:
(141)
Теперь
видно, что три величины
являются компонентами аксиального
вектора. Матрица антисимметричного
тензора 2-ого ранга (бивектора) выглядит
теперь так:
(142)
Таким образом, всякий антисимметричный тензор 2-ого ранга эквивалентен аксиальному вектору. В правосторонних системах координат это будет истинный вектор. Используя - тензор, связь между вектором и бивектором можно записать так:
(143)
Чтобы убедиться в этом, распишем подробно:
.
Тогда:
,
,
,
что совпадает с введенными выше
компонентами вектора
.
По
формуле (143) можно найти аксиальный
вектор
,
зная бивектор
.
Можно получить и обратную формулу. Для
этого умножим обе части (143) на
:
.
Воспользуемся третьей формулой (119):
или с учетом
антисимметричности
:
.
Окончательно: 
(144)
Эта формула позволяет найти бивектор , если известен вектор .
§20. Двойственный вектор и двойственный тензор.
Обобщением
изложенного в предыдущем параграфе
являются понятия двойственного вектора
и двойственного тензора. Для всякого
тензора 2-го ранга можно определить
вектор посредством соотношения: 
, (145)
который называется вектором, двойственным тензору . Расписывая равенство подробно, получим:
.
Следовательно, компоненты двойственного вектора равны:
,
,
(146)
Если
тензор
антисимметричен, то
,
,
.
Если же тензор
симметричен, то, как видно из (146),
двойственный вектор равен нулевому
вектору. Верно и обратное: равенство
нулю двойственного вектора указывает
на симметрию тензора. Для произвольного
тензора 2-ого ранга двойственный вектор,
как показывает формула (146), определяется
только антисимметричной частью тензора.
Двойственный вектор является аксиальным
вектором (т.е. псевдовектором) в силу
того, что
-
тензор – это псевдотензор. Формулу
(145) можно обратить. Для этого умножим
обе ее части на
и воспользуемся последней формулой
(119):
,
или 
(147)
Если тензор антисимметричен, то получаем:
(148)
Это соотношение можно рассматривать как определение антисимметричного тензора, двойственного данному вектору.
Иллюстрацией
понятия двойственного вектора является
векторное произведение. В параграфе 18
мы записали векторное произведение
и
в виде (125). Сравнив с формулой (145), видим,
что векторное произведение
и
– это не что иное, как двойственный
вектор по отношению к диадному произведению
тех же векторов, которое, как известно,
является тензором 2-ого ранга.
Формула (148) является обобщением формулы (144) и свидетельствует, что всякому вектору соответствует антисимметричный тензор второго ранга (бивектор). Этот факт позволяет взглянуть на векторное произведение под новым ракурсом.