МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский государственный университет
тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова
Кафедра высшей и прикладной математики
Валишин а.А., Ожерелкова л. М. «Ортогональные тензоры. Теория и примеры»
Учебно-методическое пособие
Москва
2014
УДК 51
ББК 22.1
Рецензент:
Д.ф.-м.н, профессор Ломовской В.А. (МИТХТ, каф. прикладной механики и основ конструирования).
Валишин А.А., Ожерелкова Л. М.
«Ортогональные тензоры. Теория и примеры».
Учебно-методическое пособие. М.: ИПЦ МИТХТ, 100 с.
Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ
им. М. В. Ломоносова в качестве учебно-методического пособия. Поз. 64 /2014.
В пособии излагаются основы теории ортогональных тензоров, т.е. тензорная алгебра и элементы тензорного анализа в прямоугольных системах координат. Именно теория ортогональных тензоров чаще всего используется в приложениях, в первую очередь, в механике сполошных сред и кристаллофизике. Изложение материала сопровождается многочисленными примерами и задачами с решениями. Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика». Пособие может быть так же полезно студентам других специальностей, а также молодым преподавателям, аспирантам и научным сотрудникам.
© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2014
Оглавление.
§1 Скаляры и векторы……………………………………………………. 4
§2. Задачи, приводящие к понятию тензора…………………………… 4
§3. Преобразование систем координат…………………………………. 11
§4. Правило суммирования Эйнштейна……………………………….. 15
§5. Преобразование координат точки и вектора………………………. 16
§6. Символ Кронекера…………………………………………………… 17
§7. Новое определние вектора…………………………………………… 19
§8. Задачи…………………………………………………………….……. 21
§9. Тензор второго ранга………………………………………….……… 24
§10. Транспонированный тензор………………………………………… 28
§11. Единичный тензор…………………………………………………… 28
§12. Симметричные и антисимметричные тензоры……………………. 28
§13. Задачи ……………………………………………………..…………. 30
§14. Геометрическая интерпретация тензоров первого и второго рангов 34
§15. Тензоры высших порядков………………………………………...… 36
§16. Операции с тензорами……………………………………………….. 38
§17. Теорема деления тензоров (критерий тензорности)………………. 41
§18.
-тензор
леви-Чивиты (единичный тензор третьего
ранга)…….. 42
§19. Бивектор………………………………………………………………. 46
§20. Двойственный вектор и двойственный тензор……………………. 49
§21. Векторное произведение как антисимметричный тензор………… 50
§22. Задачи ………………………………………………………………… 51
§23. Главные значения и главные направления симметричного
тензора второго ранга………………..………………………………. 59
§24. Степени тензоров второго ранга. Уравнение Гамильтона-Кэли… 67
§25. Круги Мора…………………………………………………………… 68
§26. Шаровой тензор и девиатор………………………………………… 73
§27. Нормальные и тангенциальные составляющие тензора
второго ранга……………………………………………………...…. 74
§28. Задачи ………………………………………………………………… 79
§29. Бескоординатная запись тензоров………………………………….. 92
§30. Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров 93
Список литературы……………………………………………….………… 99
§1. Скаляры и векторы.
Из векторной алгебры известны понятия скаляра и вектора. Скалярами являются такие физические величины, как плотность, масса, объем, температура тела. Скаляры не связаны с понятием направления. При определении плотности или температуры бессмысленно говорить об изменении этих величин в каком-либо направлении. Такие ненаправленные физические величины называются скалярами. Значение скаляра полностью определяется заданием одного числа. Скаляры называются также тензорами нулевого ранга.
В отличие от скаляров, другой тип физических величин, называемых векторами, может быть определен только по отношению к направлению. Механическая сила, скорость, напряженность электрического или магнитного поля, плотность тока, температурный градиент и т.д. – хорошо известные примеры векторов. Чтобы полностью определить вектор, необходимо задать как его величину (модуль вектора), так и направление.
Можно
определить вектор и по-другому. Рассмотрим
прямоугольную декартову систему
координат и зададим компоненты вектора
вдоль каждой из осей координат. Компонента
(или координата) вектора – это проекция
вектора на данную ось. Если вектор
имеет компоненты
,
то это записывается в виде
(1)
Таким образом, когда оси координат выбраны, вектор полностью определяется заданием значений трех его компонент вдоль осей. Векторы называются также тензорами первого ранга.