Задание 1
1) Для схемы (рис. 2) составить передаточную функцию от входного сигнала х к ошибке е.
2) Записать выражения АФЧХ, соответствующей прямой цепи системы на рис. 2.
3) Проверить устойчивость замкнутой системы (рис. 2) методом Найквиста.
4) Вывести передаточную функцию от входного сигнала x к выходному сигналу Y3 для схемы на рис. 3.
Рис. 2
1) ПФ по ошибке для системы на рис. 2:
2) Запишем выражение АФЧХ прямой цепи (рис.2) в разомкнутом состоянии:
Перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Выражение АФЧХ:
3) Проведём оценку устойчивости замкнутой системы.
ПФ разомкнутой системы:
Знаменатель разомкнутой системы имеет в решении 2 левых действительных и один нулевой корень.
Следовательно, замкнутая система будет устойчива, если годограф АФЧХ (Найквиста) разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами (–1; j0).
Для построения годографа воспользуемся пакетом MatLAB:
Годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; j0), следовательно, замкнутая система будет устойчива.
4) Вывести передаточную функцию от входного сигнала x к выходному сигналу Y3 для схемы на рис. 3.
Перенесём звено W3 через правый узел. Для этого включим такое же звено W3 в линию обратной связи:
Поменяем местами узлы:
Звено W2 замкнуто обратной связью; в качестве звена ОС выступает звено W3; эквивалентная ПФ контура:
Схема примет вид:
Тогда эквивалентная ПФ всей системы:
Задание 2
Требуется:
а) определить передаточную функцию W(p) заданного соединения;
б) определить, какому элементарному динамическому звену соответствует полученная W(p), определить параметры этого звена.
Решение
Звенья
Соединены параллельно; их эквивалентная ПФ находится как сумма отдельных звеньев:
Схема примет вид:
Тогда эквивалентная ПФ системы в общем виде:
Подставляем числовые параметры Т и К:
(Примечание в таблице вместо Т3 задано Т1)
Данное звено не является типовым звеном САУ, однако может быть представлено в виде последовательного соединения типовых звеньев САУ: усилительного с коэффициентом передачи К = 24, форсирующего с постоянной времени τ = 1,5625, идеального интегрирующего и двух апериодических с постоянными времени Т = 4 и Т = 1,25:
Задание 3,а
Структурная схема системы показана на рис. Требуется, пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определить условие устойчивости системы (в виде соотношения параметров К и Т)
Решение
Замкнутая система находится на границе устойчивости, если годограф АФЧХ (Найквиста) разомкнутой системы проходит через точку (–1; j0).
Найдём соотношение К и Т, при котором данное условие будет выполняться.
ПФ разомкнутой системы:
Перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену p→jω:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Замкнутая система находится на границе устойчивости, если годограф АФЧХ (Найквиста) разомкнутой системы проходит через точку (–1; j0).
Определим условия, при которых будет выполняться условие: V(ω) = 0.
Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю. Найдём частоту, на которой будет выполняться данное условие:
При ω = 0 действительная часть обратится в 0, и условие устойчивости не сможет быть выполнено; отрицательные частоты мы не рассматриваем.
Подставим ω = 1/Т и приравняем действительную часть к –1:
При К = 2/Т система будет находиться на границе устойчивости. Следовательно, для того, чтобы система была устойчивой, должно выполняться условие: К < 2/T.