§ 4. Правила выполнения и оформления контрольной работы.

При выполнении контрольной работы нужно соблюдать указанные ниже правила. Работа, выполненная с нарушением этих правил, не зачитывается и возвращается студенту для переработки.

1. Контрольное задание состоит из трех приведенных в предыдущем параграфе задач. Каждая задача дается в десяти вариантах (вариант указан цифрой перед круглой скобкой). Студент выполняет тот вариант, который соответствует последней цифре его шифра (номера зачётной книжки).

2. Записи к каждой задаче нужно проводить в следующей последовательности: условие, решение, ответ. Условия задач должны быть переписаны с заменой параметров: a₁, b₁, a₂, b₂,...их численными значениями. Решения задач надо излагать кратко, но ясно, руководствуясь приведенным в §3 образцом выполнения контрольной работы. В решении должно быть сказано, каким методом решается задача, а также из какого учебника взята используемая в решении вычислительная схема этого метода (с указанием параграфа или страниц).

3. Контрольную работу следует выполнять в тетради разборчивым почерком чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В конце работы нужно поставить подпись и дату выполнения.

4. Выполненная работа снабжается титульным листом и передается на рецензирование на кафедру КСЭМ (ауд. 505) до начала сессии. На титульном листе указывается название дисциплины, факультет, учебная специальность, курс, шифр, фамилия, имя, отчество исполнителя и его адрес.

5. После получения прорецензированной работы (как незачетной, так и зачетной) студент должен устранить все отмеченные в ней недостатки. Если контрольная работа не зачтена, студент после соответствующих исправлений передает ее на кафедру для повторного рецензирования. При исправлениях должна обязательно находиться незачтённая ранее работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

§ 5.Образец выполнения контрольной работы.

Задача 1.

Условия задачи. За счет мелиоративных работ площадь пашни в хозяйстве возросла на 120 га. Эту площадь было решено отвести под посев двух наиболее эффективных для хозяйства культур: проса и гречихи, причем гречихи нужно получить не менее 1000ц. В хозяйстве имеется 900ц. минеральных удобрений. Известны прибыльность и нормативы затрат в расчете на 1ц. проса и гречихи:

Показатели	Просо	Гречиха
1. Прибыль (руб.)	5	4
2. Расход пашни (га)	0,03	0,06
3. Внесение удобрений (ц)	0,6	0,2

Пусть х₁ и х₂ - объем производства (ц.) проса и гречихи соответственно. Требуется указать такие значения х₁ и х₂, чтобы общая прибыль от производства обеих культур была максимальной.

Решение. Записав исходные условия в математической форме, получим задачу линейного программирования.

L

Здесь целевая функция выражает общую прибыль от производства проса и гречихи, левая часть первого ограничения общий расход пашни, левая часть второго ограничения - количество внесенных удобрений. Третье ограничение означает, что производство гречихи должно составить не менее 1000ц. Четвертое ограничение написано в соответствии с экономическим смыслом величин х₁, х₂ (неравенство х₂ 0 можно не включать в число ограничений задачи L, так как оно следует из неравенства х₂ 1000).

Задачу L решаем графически (см. §1). Сначала строим допустимое множество ∆ как общую часть полуплоскостей ∆₁, ∆₂, ∆₃, ∆₄, отвечающих первому, второму, третьему, четвеpтому неpавенству задачи L (на чеpтеже это множество заштpиховано, а чеpез l₁ ,l₂ ,l₃ ,l₄ обозначены гpаницы полуплоскостей ∆₁, ∆₂, ∆₃, ∆₄). После этого чеpез точку Е с кооpдинатами х₁=0, х₂=1500 пpоводим пунктиpом линию уpовня g, котоpая соответствует большим значениям целевой функции. Hаконец, паpаллельно g пpоводим пpямую h, стаpаясь пpовести ее чеpез множество ∆ как можно дальше от g в напpавлении возpастания целевой функции. Множества h и ∆ имеют только одну общую точку А с кооpдинатами х₁=1000, х₂=1500, поэтому задача L имеет единственное pешение (1000,1500).

Ответ: х₁=1000, х₂=1500.

Задача 3. Решить задачу линейного пpогpаммиpования симплекс-методом

-26x₁-37x₂+30x₃ max,

7x₁-4x₂-3x₃ 26,

2x₁+7x₂-4x₃ -39,

x₁ 0, x2 -3, x₃ 5.

Решаем симплекс-методом, составляя симплексные таблицы в соответствии с вычислительной схемой, указанной в § 3 (стpелками отмечены главные стpока и столбец).

1) a’_rk=

2) a’_rj=

3) a’_ik=

4) a’_ij= a_ij-

Шаг 1)

		x2	x’2	x’’2	x3	x4	x7
0	26	-7	4	-4	3	1	0
x5	39	2	7	-7	-4	0	0
x6	3	0	1	-1	0	0	0
0	5	0	0	0	-1	0	1
f	0	26	37	-37	-30	0	0
g	31	-7	4	-4	2	1	1

Шаг 2)

		x’2	x’’2	x3	x4	x7
x1			-			0
x5			-	-		0
x6	3	1	-1	0	0	0
0	5	0	0	-1	0	1
f			-	-		0
g	5	0	0	-1	0	1

Шаг 3)

		x’2	x’’2	x4	x7
x1			-
x5			-		-
x6	3	1	-1	0	0
x2	5	0	0	0	1
f			-		-
g	0	0	0	0	0

4)

		x’2	x4	x6	x7
x1		0
x5		0			-
x2’’	3	1	0	-1	0
x3	5	0	0	0	1
f	-	0			-
g	0	0	0	0	0

5)

		x’2	x4	x5	x6
x1	5	0		-
x7	2	0		-
x2’’	3	1	0	0	-1
x3	7	0		-
f	-191	0	2	6	3
g	0	0	0	0	0

Пятая таблица является последней и удовлетворяет признаку оптимальности, поэтому задача имеет решение. Из последней таблицы получаем это решение:x₁=5, x"₂=3, х₃=7, т. к. переменные х₁, х"₂, х₃ встречаются слева от таблицы; х'₂=0, т.к. переменная х'₂ не попала в список слева от таблицы; переменная х₂ при составлении первой таблицы заменялась разностью переменных х'₂ и х"₂, поэтому значения х₂ находим по формуле х₂=х'₂-х"₂=0-3=-3

Ответ: х₁=5, х₂=-3, х₃=7.

Задача 4. Имеется четыре земельных участка площадью 5, 4, 2, 7 сотен га соответственно, отведенных под посев 3-х зерновых культур, посевная площадь которых должна составить 8, 3, 7 сотен га состветственно. Задана матрица С урожайности (ц/га) культур на каждом из четырех участков (элемент этой матрицы, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает урожайность i-й культуры на j-ом участке)

	21	30	29	25
С=	16	28	26	20
	18	29	25	21

Пусть Х_ij-площадь (в сотнях га) на j-м участке, запланированная под посев i-й культуры (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3, 4). Требуется указать такие значения х₁₁, х₁₂,......х₃₄, чтобы валовый сбор зерна со всех участков был максимальным.

Решение. Записывая условия в математической форме, получаем задачу линейного програмирования.

21x₁₁+30x₁₂+29x₁₃+25x₁₄+16x₂₁+28x₂₂+26x₂₃+20x₂₄+18x₃₁+29x₃₂+25x₃₃+21x₃₄ max

(x₁₁, x₁₂,...,x₃₄);

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=8, x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄=3;

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄=7, x₁₁ +x₂₁+x₃₁=5;

x₁₂+x₂₂+x₃₂=4, x₁₃+x₂₃+x₃₃=2, x₁₄+x₂₄+x₃₄=7;

x₁₁ 0, x₁₂ 0, x₁₃ 0, x₁₄ 0, x₂₁ 0,...,x₃₄ 0.

Здесь целевая функция выражает валовый сбор зерна (в сотнях центнеров), левые части первых трех ограничений - посевные площади соответствующих культур, левые части следующих четырех ограничений - засеянные площади на соответствующих участках. Последние двенадцать ограничений отражают то обстоятельство, что в результате измерения площадей получаются неотрицательные числа.

Для того чтобы пpименить метод потенциалов в том виде, как он изложен в § 5, пеpеходим от задачи на максимум к эквивалентной задаче на минимум

-21x₁₁-30x₁₂-29x₁₃-25x₁₄-16x₂₁-28x₂₂-26x₂₃-20x₂₄-18x₃₁-29x₃₂-25x₃₃-21x₄₃ min (x₁₁,x₁₂,...,x₃₄);

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=8, x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄=3;

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄=7, x₁₁+x₂₁+x₃₁=5;

x₁₂+x₂₂+x₃₂=4, x₁₃+x₂₃+x₃₃=2, x₁₄+x₂₄+x₃₄=7;

x₁₁ 0, x₁₂ 0, x₁₃ 0, x₁₄ 0, x₂₁ 0,...,x₃₄ 0.

и pешаем ее методом потенциалов по схеме, указанной в § 5.

Указание. Пункты отправления в таблице представим двумя строками (в верхней клетке запишем тариф, а в нижней – перевозку).

_{таблица Т1}

-21	-30	-29	-25
5	3-		+	0
-16	-28	-26	-20
	1	2	(0)-	2
-18	-29	-25	-21
			7	1
-21	-30	-28	-22

_{таблица Т2}

-21	-30	-29	-25
5	(3)-		0+	0
-16	-28	-26	-20
	1	2		2
-18	-29	-25	-21
	+		7-	4
-21	-30	-28	-25

_{таблица Т3}

21	-30	-29	-25
5-			3+	0
-16	-28	-26	-20
	1	2		5
-18	-29	-25	-21
+	3		(4)-	4
-21	-33	-31	-25

_{таблица Т4}

-21	-30	-29	-25
1			7	0
-16	-28	-26	-20
	1	2		4
-18	-29	-25	-21
4	3			3
-21	-32	-30	-25

Таблица Т₄ дает pешение задачи, так как в этой таблице для любой свободной клетки pазность между ее таpифом и потенциалами не является отpицательной.

Ответ: x₁₁=1, x₁₂=0, x₁₃=0, x₁₄=7;

x₂₁=0, x₂₂=1, x₂₃=2, x₂₄=0;

x₃₁=4, x₃₂=3, x₃₃=0, x₃₄=0.

Задача. Трем предприятиям нужно сырье в количестве 8, 7, 6 тыс. тонн соответственно. Запасы сырья сосредоточены в четырех пунктах хранения в количестве 7, 9, 3, 5 тыс. тонн соответственно. Известна матрица С расстояний (км) между пунктами хранения и предприятиями (на пересечении i-й строки и j-го столбца этой матрицы указано расстояние между i-м пунктом хранения и j-м предприятием)

	63	65	61
C=	67	61	62
	62	56	58
	61	59	64

Пусть x_ij- количество сырья (тыс. тонн), которое планируется завезти j-му предприятию с i-го пункта хранения (i=1, 2, 3, 4; j=1,2,3). Требуется найти такие значения x₁₁, x₁₂,...,x₄₃, чтобы при перевозке сырья общее количество тонно-километров было минимальным.

Решение. Записывая условия задачи в математической форме, получаем задачу линейного программирования

L

В этой задаче целевая функция показывает, сколько тысяч тонно-километров уходит на перевозку сырья. Левые части первых четырех ограничений выражают количества вывозимого сырья из соответствующих пунктов хранения, левые части следующих трех ограничений-количества ввозимого сырья на соответствующие предприятия. Последние двенадцать ограничений означают, что массы перевозимого сырья не могут принимать отрицательные значения.

Задача L имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение задача

M

в котоpой пpавая часть последнего pавенства есть pазность между общим запасом сыpья 7+9+3+5=24 и общей потpебностью 8+7+6=21. Пpи этом, если pавенства x_ij=d_ij (i=1 ,2, 3, 4; j=1, 2, 3, 4) дают оптимальный план задачи М, то pавенства x_ij=d_ij (i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3) дают оптимальный план задачи L. Поэтому для pешения задачи L достаточно pешить задачу M.

Задачу М pешаем методом потенциалов.

Указание. Пункты отправления в таблице представим двумя строками (в верхней клетке запишем тариф, а в нижней – перевозку).

_{таблица Т}1

Тариф 63	65	61	0
Перевозка 4				0
67	61	62	0
(1)-	7	1+		4
62	56	58	0
		3		0
61	59	64	0
+		2-	3	6
63	57	58	-6

_{таблица Т2}

63	65	61	0
7-		+		0
67	61	62	0
	7	2		-4
62	56	58	0
		3		-8
61	59	64	0
1+		(1)-	3	-2
63	65	66	2

_{таблица Т3}

63	65	61	0
6-		1+		0
67	61	62	0
	7	(2)-	+	1
62	56	58	0
		3		-3
61	59	64	0
2+			3-	-2
63	60	61	2

_{таблица Т4}

63	65	61	0
4-		3+		0
67	61	62	0
	7-		2+	-2
62	56	58	0
	+	3-		-3
61	59	64	0
4+			(1)-	-2
63	63	61	2

таблица Т₅

63	65	61	0
3		4		0
67	61	62	0
	6-	+	3	-2
62	56	58	0
	1+	(2)-		-3
61	59	64	0
5				-2
63	63	61	2

таблица Т₆

63	65	61	0
3		4		0
67	61	62	0
	4	2	3	1
62	56	58	0
	3			-4
61	59	64	0
5				-2
63	60	61	-1

Построение последовательности таблиц заканчивается на Т₆, потому что в этой таблице для всех свободных клеток разность между соответствующим тарифом и потенциалами не является отрицательной. Из таблицы Т₆ получаем искомые значения переменных:

x₁₁=3, x₁₂=0, x₁₃=4, x₁₄=0;

x₂₁=0, x₂₂=4, x₂₃=2, x₂₄=3;

x₃₁=0, x₃₂=3, x₃₃=0, x₃₄=0;

x₄₁=5, x₄₂=0, x₄₃=0, x₄₄=0.