Интегральное исчисление

1. Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функции f(х) на интервале, если для любого х из этого интервала выполняется равенство F’(x)=f(х). Множество всех первообразных функции f(х) задается формулой F(x)+С, гдеС – постоянное число и называется неопределенным интегралом.

Свойства неопределенного интеграла:

1)

2)

3)

4)

5) Если , то , где - произвольная дифференцируемая функция.

2. Основные определенные интегралы

При вычислении интегралов пользуются следующими основными формулами:

№	Формула	№	Формула	№	Формула
1		2		3
4		5		6
7		8		9
10		11		12
13		14		15
16		17		18

3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов

1) Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в разложении интеграла на алгебраическую сумму интегралов, сводящихся к основным.

Пример 1. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение:

а) Воспользуемся четвертым свойством интегралов и разложим данный интеграл на алгебраическую сумму интегралов:

Вычислим каждый интеграл по отдельности. При вычислении 1 и второго интеграла вынесем множитель за знак интеграла. Первый интеграл вычисли по формуле 8, второй по свойству 2, третий по формуле 15 (приа=2):

б) Для разложения интеграла на алгебраическую сумма необходимо разделить числитель и знаменатель на х:

2) Метод подстановки (замены переменной)

Метод подстановки заключается в замене переменной интегрирования. При этом следует учесть, что переменную интегрирования необходимо заменить и под дифференциалом.

Пример 2. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Произведем замену . Тогда ,

Преобразуем интеграл и вычислим его аналогично примеру 1б:

выполним обратную замену

б) Положим . Далее можно вычислять аналогично предыдущему примеру, но такие вычисления будут достаточно громоздки. Заметим, что , тогда

в) Возьмем за новую переменную тригонометрическую функцию, находящуюся в пятой (не первой) степени: . Найдем дифференциал новой переменной: , тогда

3) Интегрирование по частям

Интегрирование по частям выполнятся по формуле:

Пример 3. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Положим:

Применим формулу:

Получившийся интеграл решается аналогично примеру 2б ( ):

, тогда

б) Положим: , тогда

в)

4. Определенный интеграл

Определенным интегралом функции на отрезке [a;b] называется изменение первообразной функции на данном интервале. Обозначается . Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования.

ТЕОРЕМА: Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и F(х) – какая-либо ее первообразная, то имеет место равенство , которое называется формулой Ньютона-Лейбница.

Чтобы вычислить определенный интеграл функции необходимо найти ее первообразную F(x) и вычислить разность F(b) – F(a).

Например:

Свойства определенного интеграла:

1. Если с=const, то

2. 

3. 

4. 

5. , где