Теория пределов

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, за исключением быть может только самой точки х₀.

ЧислоА называется пределом функции в точке х₀ (или при х стремящимся к х₀), если для любой последовательности допустимых значений аргумента, отличных от х₀ и сходящихся к х₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Обозначается

Свойства пределов (С – постоянная величина)

1)

2)

3)

4)

5) Если, , то

Данные свойства справедливы и для х.

! Все правила имеют смысл, если пределы функций и существуют.

Способы вычисления пределов

1. Непосредственное вычисление пределов

Для нахождения предела функции в точке необходимо найти значение функции в этой точке.

Пример 1. Найти значение предела

Решение: Так как аргумент стремится к числу (не к бесконечности), то подставим это число в функцию . Так как получился определенный результат, то он и будет значением предела, то есть

2. Раскрытие неопределенности

А) Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить получившуюся дробь

Пример 2. Найти значение предела .

Решение: Так как аргумент функции стремится к числу, то подставим в функцию это число: . Получили неопределенность. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель функции на множители: . Сократив дробь, получим предел, подставив в функцию которого число 2, получим ответ: .

Б) Умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное со знаменателем или числителем

Пример 3. Найти значение предела .

Решение: Аналогично предыдущим примерам убедимся, что есть неопределенность: . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение :

Используя разность квадратов, раскроем скобки в знаменателе сократим получившуюся дробь и вычислим предел .

3. Раскрытие неопределенности

Разделить числитель и знаменатель на старшую степень

Пример 4. Найти значение предела

Решение: Так как аргумент функции стремится к бесконечности, то для вычисления предела необходимо разделить числитель и знаменатель на старшую степень дроби ( в данном случае на ): сокращая дроби и пользуясь тем, что , получим .

3. Замечательные пределы

А) Первый замечательный предел

Следствия из замечательного предела

Пример 5. Найти значение предела

Решение: Для начала убедимся, что имеет место неопределенность . Для применения первого замечательного предела необходимо, чтобы аргумент тригонометрической функцией совпадал с числителем или знаменателем дроби. Для применения 1 замечательного предела умножим числитель и знаменатель дроби на 4:

Б) Второй замечательный предел

, гдеe≈2.71828…

Следствие из второго замечательного предела:

Пример 6. Найти значение предела

Решение: Для применения второго замечательного предела необходимо, чтобы второе слагаемое стремилось к нулю, а степень была выражение, обратным второму слагаемому (вместе со знаком). Для применения второго замечательного предела умножим степень на выражение, обратное второму слагаемому, а чтобы равносильность преобразования не нарушилась умножим степень и на само второе слагаемое:

перегруппируем множители, стоящие в степени: выражение, заключенное в квадратные скобки, по второму замечательному пределу будет равно числу е