Полнота исчисления высказываний

Установим теперь полноту ИВ, доказав, что всякая тавтология есть теорема ИВ.

Пусть  есть формула, построенная из переменных x₁,…,x_n; пусть - набор значений переменных. Тогда, по определению, формула есть формула , если , и формула , если .

В указанных обозначениях справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Имеет место секвенция ├ .

Доказательство. Индукция по числу n связок (  и ) в формуле .

При n = 0 в качестве формулы имеем какую-либо переменную x , и тогда, очевидно, x├ x (так как формула (xx) есть теорема ИВ⁴).

Пусть утверждение леммы доказано для любой формулы, число связок в которой не превышает n  1. Возьмем формулу , содержащую n связок.

Возможны следующие случаи.

1 Формула  есть формула  для некоторой формулы . В силу предположения индукции ├ . Если совпадает с , т.е. , то  ├  (Теорема 3, п. 4), и тогда ├ , но формула  совпадает с формулой , которая и есть (так как в этом случае ). Если же совпадает с , т.е. , то тогда , есть , и ├ , т.е. ├ .

2 Формула  есть формула () для некоторых формул  и . Возможны тогда следующие случаи⁵:

2.1 , т.е. () = () = 1, и, следовательно,  () = 1  1 = 1, т.е. есть . По предположению индукции ├  и ├ . Тогда  (), в силу схемы аксиомы (1), и, применив MP, получим (), т.е. ├ () = .

2.2 , откуда по предположению индукции ├  и ├ . Но в этом случае  () = 0  1 = 1, т.е. есть . Используя объектную теорему п. (5) (мета)теоремы 3, т.е. формулу  (), после применения MP получим ├ () = .

2.3 , и тогда  () = 1  0 = 0, т.е. есть  =  (). По предположению индукции ├  и ├ ; используя п. (8) теоремы 3, формулу ((    ())), и дважды применив MP, получим ├ () = ₌ .

2.4 , и  () = 0  0 = 1, т.е. ₌  = ().По предположению индукции ├  и ├ ; используя схему аксиомы (1) в виде   (), после применения MP получим (). Затем, используя закон контрапозиции и еще раз применив MP, получим (), т.е. окончательно ├ () = ₌ ⁶.

Тем самым лемма 1 доказана полностью.

Теорема 4 (Кальмара, о полноте ИВ). Всякая тавтология есть теорема ИВ.

Доказательство. Если формула , представляющая булеву функцию от переменных , является тавтологией, то для любого набора ₌ , и ├ . В частности, для произвольных двух наборов (₁,…, _n-1, 1) и (₁,…, _n-1, 0) будем иметь ├  и ├ . По следствию 2 отсюда получим ├ . Так как полученная секвенция верна для любого набора (₁,…, _n-1) размерности n  1, то рассуждая точно так же, как и выше, элиминируем литерал и т. д. до тех пор, пока не докажем, что ├ , т.е., элиминировав все литералы , получим, что формула  доказуема в ИВ.

Будем называть формулы  и  эквивалентными и записывать это как   , если ├ () и ├ ().

Лемма 2. Если   , то ├   .

Доказательство. Так как (  ) = ()&(), то согласно следствию 3 ├   .

Пример. Рассмотрим доказательство эквивалентности некоторых формул:

1) .

Докажем секвенцию ├ . Для этого докажем, что ├ . В силу теоремы это равносильно доказательству секвенции ├ . Имеем: (1) - гипотеза, (2) - теорема, (3) - п. (1) теоремы 3. Итак, ├ , откуда, согласно закону контрапозиции, ├ .

Теперь докажем секвенцию ├ . Для этого, опять-таки с использованием закона контрапозиции, достаточно доказать, что ├ . Имеем: (1) - гипотеза, (2) - теорема, (3) - п. (1) теоремы 3.

2)

Имеем: (1) - гипотеза, (2) - схема (3) при , (3) - теорема, (4) - п. (1) теоремы 3, (5) - MP, (6) - теорема, (7) - MP. Итак, ├ . То, что ├ , следует сразу из первой схемы аксиомы: .

Теорема 5 (о замене эквивалентными формулами). Пусть формула  доказуема в ИВ, т.е.├ , и пусть  - формула, полученная из  заменой каких-либо ее подформул эквивалентными формулами. Тогда ├ .

Доказательство. Так как для эквивалентных формул  и  формула

   является тавтологией (лемма 2), то для любого набора выполняется . Следовательно, замена произвольной подформулы в формуле  эквивалентной формулой не меняет истинностного значения формулы ⁷. Тогда формула  является тавтологией и, по теореме 4, доказуема в ИВ.

Используя теорему 5, можно упрощать доказательства в ИВ. Например, «инверсный закон контрапозиции», т.е. формула (A  B)  (B  A), может быть получена из самого закона контрапозиции (B  A)  (A  B) подстановкой формул A вместо B и B вместо A и последующей замены подформулы A эквивалентной формулой A, а подформулы B эквивалентной формулой B.

Следствие 4. Если в условиях теоремы 5 для некоторого конечного множества формул  имеет место ├ , то выполняется и ├ .

Доказательство. Пусть  = {A₁, A₂, …, A_n}. Тогда по теореме дедукции получим ├ A₁  (A₂ …( A_n  ))…). Тогда по теореме 5

├ A₁  (A₂ …( A_n  ))…), а по следствию 1 ├ .