Задание №4

Выполнить перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную. Выполнить перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную. Привести проверку перевода.

Исходные данные к расчетным заданиям

№ варианта	Двоичная система счисления	Десятичная система счисления
1	1101101	98
2	1010101	17
3	110011	13
4	10001	37
5	11110	54
6	111001	10
7	10010	9
8	11100	21
9	101001	55
10	101111	18

Числовым кодированием называется процесс выражения числового значения измеряемой величины в определенной системе счисления.

В повседневной жизни применяется десятичная система счисления с основанием, равным 10. В этой системе любое число представляется суммой некоторого числа единиц, десятков, сотен и т.д.

Например: 408 = 4×10² + 0×10¹ + 8×10⁰.

Таким образом, любое целое число состоит из суммы чисел: 10⁰ + 10¹ + 10² + 10³ + …, каждое из которых может множиться на одну из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе счисления произвольное целое число можно представить в следующем виде: N₁₀ = K_{i (n-1)}×10 ^n-1 + K_{i (n-2)}×10 ^n-2 + … + K_{i (0)}×10⁰, где 10 – основание системы счисления, равное числу символов, используемых в системе; n – количество разрядов числа; K_i – коэффициент, принимающий значения от 0 до 9.

В цифровой электроизмерительной технике используется двоичная система счисления, преимуществом которой является наличие в ней всего двух цифр: 0 и 1, дающих возможность использовать в схемах элементы, обладающие двумя устойчивыми положениями (реле, триггеры).

В двоичной системе счисления любое число представляется суммой чисел: 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + …, каждое из которых можно умножить на одну из двух цифр: 0 или 1. Например: 14 = 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰.

В отличие от десятичной системы счисления, в каждом разряде двоичного числа может быть записана только одна из двух цифр 0 или 1.

Таким образом двухразрядное десятичное число 14 можно в двоичной системе счисления записать как четырехразрядное число 14₁₀ = 1110₂. В общем виде в двоичной системе счисления: N₂ = K_i(n-1)×2^n-1 + K_i(n-2)×2^n-2 + … + K_i(0)×2⁰.

Практический переход от десятичного счета к двоичному можно выполнить следующим образом. Делим десятичное число на 2 и записываем остаток, равный 1 или 0.

Деление на 2	Остаток	Двоичное число
14 : 2 = 7 7 : 2 = 3 3 : 2 = 1 1 : 2 = 0	0 1 1 1

1110

Переписывая остатки из колонки в сторону справа налево, получим соответствующее двоичное число, т.е 1110₂ = 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 14₁₀

Переход от двоичного счета к десятичному можно выполнить следующим образом. Если в разряде двоичного числа стоит 0, то цифра предыдущего старшего разряда множится на 2 и к произведению прибавляется единица.

Найдем, например, десятичное число, соответствующее двоичному 1110. Так как во втором разряде стоит 1, то цифра предыдущего разряда, т.е. первого, множится на 2 и к произведению прибавляется 1, так что 1×2 + 1 = 3. В третьем разряде числа стоит 1, поэтому полученный результат множится на 2 и к произведению прибавляется 1, т.е.

3×2 + 1 = 7. Наконец, в четвертом разряде стоит 0, следовательно, полученный результат множится на 2: 7×2 = 14.

Проверка: 1110₂ = 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 4 + 2 + 0 = 14₁₀