1. Составление системы 3-го порядка из типовых звеньев

Задаем коэффициенты для передаточных функций, согласно заданию:

K=0,7;

T₁=35;

T₂=17,5;

T₃=11,7.

Задаем передаточные функции для звеньев системы, в данном случае система состоит из трех последовательно соединенных апериодических (или инерционных) звеньев:

Структурная схема автоматической системы 3-го порядка представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Структурная система системы управления 3-го порядка

Используя обратное преобразование Лапласа составим для заданной системы дифференциальное уравнение и передаточной функции, а также запишем аналитические выражения для частотных характеристик.

2. Составление для заданной системы дифференциальное уравнение и передаточную функцию. Синтез данных аналитических выражений для ее ачх и фчх.

Составим передаточную функцию для разомкнутой системы. Т.к. соединение звеньев последовательное, передаточные функции звеньев перемножаются:

;

.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы:

;

Раскроем скобки и сделаем замену:

Посчитаем значение коэффициентов:

К = 0,7 .

Составим дифференциальное уравнение для заданной системы:

Синтезируем выражения для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ). Комплексная частотная характеристика (КЧХ) имеет следующий вид, подставляя p=jω, раскрывая скобки и умножая дробь на комплексно-сопряженное число знаменателя, чтобы выделить мнимую и вещественную части, получаем:

Соответственно получаем:

где вещественная и мнимая части имеют следующий вид:

Модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуды выходного и входного гармонических сигналов, как функции частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Соответственно АЧХ системы примет следующий вид:

(1)

Аргумент , равный фазовому сдвигу между выходным и входным сигналами, как функции , называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Тогда ФЧХ имеет следующий вид:

(2)

Перейдем к построению временных и частотных характеристик.

3. Построение переходной, импульсной, ачх и фчх характеристик в matlab.

Переходной характеристикой h(t) называется зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия 1(t):

Переходная характеристика замкнутой системы представлена на рисунке 2.

Импульсной переходной характеристикой называется зависимость выходного сигнала системы от времени при подачи на ее вход δ-импульса:

Импульсная переходная характеристика представлена на рисунке 3.

Рисунок 2 – Переходная характеристика замкнутой системы

Рисунок 3 – Импульсная характеристика замкнутой системы

Анализ временных характеристик показывает, что замкнутая система управления является устойчивой, а время переходного процесса 370 сек, а величина перерегулирования равна нулю.

На рисунках 4 и 5 представлены соответственно внешний вид АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы, программа построения представлена в приложении А.

Рисунок 4 – АЧХ системы

Рисунок 5 – ФЧХ системы

На рисунке 6 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Рисунок 6 – ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой системы

Анализ выражений (1) и (2), а также приведенных графиков показывает, что при ω = ∞, разность фаз входного и выходного сигнала будет равна -1,5∙π (или -270⁰). Текст программы построения временных и частотных характеристик приведены в приложении А. Также можно найти запасы по фазе Δφ=∞ град и амплитуде ΔL=23,1дБ/дек.